Завдання № 64. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює $10\text{ см}$, а її проєкція — $6\text{ см}$. Знайдіть проєкцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут $45^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Зобразимо геометричну конфігурацію задачі. Нехай $P$ — дана точка, що не належить прямій, $PH$ — перпендикуляр, опущений з точки $P$ на пряму ($PH\perp AB$), а відрізки $PA$ та $PB$ — похилі. Тоді відрізки $HA$ та $HB$ є проєкціями похилих $PA$ та $PB$ на цю пряму відповідно.

За умовою:

• довжина першої похилої: $PA=10\text{ см}$;
• довжина її проєкції: $HA=6\text{ см}$;
• кут між другою похилою та прямою: $\angle PBH=45^{\circ }$.

1. Знаходження довжини перпендикуляра $PH$

Розглянемо трикутник $△PAH$. Оскільки $PH\perp AB$, цей трикутник є прямокутним ($\angle PHA=90^{\circ }$).

За теоремою Піфагора для $△PAH$:
$P{A}^2=P{H}^2+H{A}^2$

Звідси виразимо довжину катета $PH$:
$PH=\sqrt{P{A}^2-H{A}^2}$

Підставимо числові значення:
$PH=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ см}$

2. Знаходження проєкції другої похилої $HB$

Розглянемо прямокутний трикутник $△PBH$ ($\angle PHB=90^{\circ }$).

Спосіб 1 (за допомогою тригонометричних функцій):
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:
$\mathrm{tg}\angle PBH=\frac{PH}{HB}$

Звідси:
$HB=\frac{PH}{\mathrm{tg}\angle PBH}$

Оскільки $\angle PBH=45^{\circ }$ і $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$:
$HB=\frac{8}{\mathrm{tg}45^{\circ }}=\frac{8}{1}=8\text{ см}$

Спосіб 2 (через властивість гострих кутів прямокутного трикутника):
Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$:
$\angle BPH=90^{\circ }-\angle PBH=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
Оскільки $\angle PBH=\angle BPH=45^{\circ }$, то $△PBH$ — рівнобедрений з основою $PB$. Отже, його катети рівні:
$HB=PH=8\text{ см}$

Відповідь: $8\text{ см}$.