Завдання № 63. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Крива, рівняння якої $x^2+y^2=2(2+2y-x)$, при деякому паралельному перенесенні переходить у криву, що задається рівнянням $x^2+y^2=2(2x+y-m)$.

1) Знайдіть значення параметра $m$.

2) Складіть рівняння образу прямої $2x-3y+6=0$ при цьому паралельному перенесенні.

Покроковий розв’язок:

1. Зведення рівнянь кривих до канонічного вигляду кола

Канонічне рівняння кола з центром у точці $(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Перетворимо рівняння першої кривої:
$x^2+y^2=4+4y-2x$
Перенесемо доданки зі змінними в ліву частину та виділимо повні квадрати:
$(x^2+2x)+(y^2-4y)=4$
$(x+1{)}^2-1^2+(y-2{)}^2-2^2=4$
$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2-5=4$
$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$

Отже, перша крива — це коло із центром у точці $O_1(-1;2)$ та радіусом $R_1=\sqrt{9}=3$.

Перетворимо рівняння другої кривої:
$x^2+y^2=4x+2y-2m$
$(x^2-4x)+(y^2-2y)=-2m$
$(x-2{)}^2-2^2+(y-1{)}^2-1^2=-2m$
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2-5=-2m$
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5-2m$

Ця крива є колом із центром у точці $O_2(2;1)$ та радіусом $R_2=\sqrt{5-2m}$ (при $5-2m>0$).

2. Знаходження параметра $m$

Паралельне перенесення є рухом, а отже, зберігає відстані між точками та переводить будь-яку геометричну фігуру в рівну їй фігуру.

Коло переходить у коло того самого радіуса, тому радіуси обох кіл мають бути рівними ($R_1=R_2$, звідки $R_1^2=R_2^2$):
$5-2m=9$
$-2m=9-5$
$-2m=4$
$m=-2$

3. Визначення формул паралельного перенесення

При паралельному перенесенні центр першого кола $O_1(-1;2)$ переходить у центр другого кола $O_2(2;1)$.

Знайдемо координати вектора перенесення $\vec{p}=\overrightarrow{O_1{O}_2}$:
$\vec{p}=(2-(-1);1-2)=(3;-1)$

Формули паралельного перенесення мають вигляд: