Завдання № 62. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте квадрат із центром у даній точці так, щоб прямі, що містять дві його сусідні сторони, проходили через дві дані точки.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз задачі
Нехай $O$ — заданий центр квадрата (точка перетину його діагоналей), а $M$ і $N$ — дві задані точки, що мають належати прямим, які містять сусідні сторони квадрата (наприклад, прямим $AB$ і $AD$).

Відомо, що під час повороту навколо центра квадрата $O$ на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою (або проти неї) пряма, яка містить одну сторону квадрата, переходить у пряму, що містить сусідню сторону.
Отже:

• якщо виконати поворот точки $M$ навколо центра $O$ на кут $90^{\circ }$ (нехай точка $M$ перейде в точку $M_1$), то точка $M_1$ належатиме прямій, яка містить сусідню сторону (тобто прямій $AD$);
• аналогічно, якщо виконати поворот точки $N$ навколо центра $O$ на кут $90^{\circ }$ у протилежному напрямку (нехай точка $N$ перейде в точку $N_1$), то точка $N_1$ належатиме прямій $AB$.

Таким чином:

• пряма $AD$ проходить через задану точку $N$ та отриману точку $M_1$;
• пряма $AB$ проходить через задану точку $M$ та отриману точку $N_1$.

Точка перетину прямих $N{M}_1$ та $M{N}_1$ дає спільну вершину цих сторін — точку $A$.

2. План побудови

1) Виконуємо поворот точки $M$ навколо точки $O$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки, отримуємо точку $M_1$.

2) Виконуємо поворот точки $N$ навколо точки $O$ на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою, отримуємо точку $N_1$.

3) Проводимо пряму через точки $N$ і $M_1$, а також пряму через точки $M$ і $N_1$. Точку їхнього перетину позначаємо як $A$ (перша вершина квадрата).

4) Проводимо промінь $AO$ і за точкою $O$ відкладаємо відрізок $OC=OA$. Отримуємо протилежну вершину квадрата — точку $C$.

5) Через точку $C$ проводимо пряму, паралельну прямій $AM$, яка перетинає пряму $AN$ у точці $D$.

6) Через точку $C$ проводимо пряму, паралельну прямій $AN$, яка перетинає пряму $AM$ у точці $B$.

7) Отримуємо чотирикутник $ABCD$, який і є шуканим квадратом.

3. Доведення
Оскільки пряма $A{M}_1$ отримана поворотом прямої $A{N}_1$ навколо центра квадрата $O$ на кут $90^{\circ }$, кут між ними дорівнює $\angle A=90^{\circ }$.

Точка $O$ є серединою побудованого відрізка $AC$, а протилежні сторони чотирикутника $ABCD$ попарно паралельні за побудовою ($AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$). Отже, чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом із прямим кутом $\angle A=90^{\circ }$, тобто прямокутником, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл. Таким чином, $ABCD$ — квадрат із центром $O$, сторони якого проходять через задані точки $M$ і $N$.

Відповідь: побудовано шуканий квадрат $ABCD$.