Завдання № 61. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння образу кривої $x^2-4x+y^2=0$ при повороті навколо початку координат на кут $60^{\circ }$:

1) за годинниковою стрілкою;

2) проти годинникової стрілки.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду кривої та її характеристик
Виділимо повний квадрат для змінної $x$ у заданому рівнянні:
$x^2-4x+y^2=0$
$(x^2-2\cdot 2x+4)-4+y^2=0$
$(x-2{)}^2+y^2=4$
$(x-2{)}^2+y^2=2^2$

Отримане рівняння задає коло з центром у точці $A(2;0)$ і радіусом $R=2$.

2. Властивості руху (повороту)
Поворот є рухом (переміщенням), тому при будь-якому повороті:

• коло переходить у рівне йому коло з тим самим радіусом $R=2$;
• центр початкового кола переходить у центр нового кола.

Отже, щоб знайти рівняння образів, достатньо знайти координати точок, у які перейде центр $A(2;0)$ при повороті навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $60^{\circ }$.

Точка $A(2;0)$ лежить на додатній півосі абсцис, а відстань від початку координат до неї становить:
$OA=2$

3. Поворот на $60^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
При повороті на кут $60^{\circ }$ за годинниковою стрілкою точка $A(2;0)$ переходить у IV координатну чверть у точку $A_1(x_1;y_1)$:
$x_1=OA\cdot \cos (-60^{\circ })=2\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$
$y_1=OA\cdot \sin (-60^{\circ })=-2\cdot \sin 60^{\circ }=-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

Центр нового кола — точка $A_1(1;-\sqrt{3})$, а радіус $R=2$.
Складаємо рівняння кола:
$(x-1{)}^2+(y-(-\sqrt{3}){)}^2=2^2$
$(x-1{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=4$

4. Поворот на $60^{\circ }$ проти годинникової стрілки
При повороті на кут $60^{\circ }$ проти годинникової стрілки точка $A(2;0)$ переходить у I координатну чверть у точку $A_2(x_2;y_2)$:
$x_2=OA\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$
$y_2=OA\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Центр нового кола — точка $A_2(1;\sqrt{3})$, а радіус $R=2$.
Складаємо рівняння кола:
$(x-1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=4$

Відповідь:

1) $(x-1{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=4$;

2) $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=4$.