Завдання № 61. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони двох правильних десятикутників відносяться як $2:9$. Як відносяться їхні площі?

Покроковий розв’язок:
1. Подібність правильних многокутників
Будь-які два правильні многокутники з однаковою кількістю сторін є подібними, оскільки всі їхні відповідні кути рівні між собою, а всі сторони пропорційні. Отже, два правильні десятикутники подібні.

2. Коефіцієнт подібності
Коефіцієнт подібності $k$ дорівнює відношенню відповідних сторін цих многокутників:
$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{9}$

3. Відношення площ
За теоремою про площі подібних многокутників, площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2$

Підставимо значення коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{2}{9}\right)}^2=\frac{4}{81}$

Таким чином, відношення площ двох правильних десятикутників становить $4:81$.

Відповідь:
$4:81$ (або $\frac{4}{81}$).