Завдання № 60. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На кожній медіані трикутника позначено точку, що ділить медіану у відношенні $1:3$, починаючи від вершини трикутника. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша від площі початкового трикутника?

Покроковий розв’язок:

1. Властивості медіан та точки їхнього перетину

Нехай дано довільний трикутник $ABC$. Проведемо його медіани, які перетинаються в одній точці — центроїді $O$.

За властивістю медіан трикутника точка їхнього перетину ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.
Отже, відстань від вершини до точки $O$ становить:
$BO=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\text{ довжини медіани}$

2. Знаходження положення точок $A_1$, $B_1$, $C_1$

За умовою задачі точки $A_1,B_1,C_1$ ділять відповідні медіани у відношенні $1:3$, починаючи від вершин $A,B,C$.
Це означає, що відстань від вершини до відповідної точки становить:
$B{B}_1=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\text{ довжини медіани}$

Оскільки $\frac{1}{4}<\frac{2}{3}$, точка $B_1$ лежить на відрізку $BO$. Знайдемо довжину відрізка $O{B}_1$ відносно всієї медіани:
$O{B}_1=BO-B{B}_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}\text{ довжини медіани}$

Аналогічно для двох інших медіан отримуємо:
$O{A}_1=\frac{5}{12}\text{ довжини медіани від }A,O{C}_1=\frac{5}{12}\text{ довжини медіани від }C$

3. Доведення подібності трикутників та знаходження коефіцієнта подібності

Розглянемо відношення відрізків медіани від точки перетину $O$:
$\frac{O{B}_1}{OB}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{2}=\frac{5}{8}$

Оскільки аналогічні рівності виконуються для всіх трьох вершин:
$\frac{O{A}_1}{OA}=\frac{O{B}_1}{OB}=\frac{O{C}_1}{OC}=\frac{5}{8}$

Точки $A_1,B_1,C_1$ лежать на відповідних відрізках $OA,OB,OC$. Отже, трикутник $A_1{B}_1{C}_1$ гомотетичний трикутнику $ABC$ із центром гомотетії в точці $O$ і коефіцієнтом $k=\frac{5}{8}$.

Звідси сторони трикутників паралельні ($A_1{B}_1\parallel AB$, $B_1{C}_1\parallel BC$, $A_1{C}_1\parallel AC$), а трикутники подібні:
$△A_1{B}_1{C}_1\sim △ABC\text{з коефіцієнтом подібності }k=\frac{5}{8}$

4. Знаходження відношення площ

За теоремою про площі подібних фігур, відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:
$\frac{S_{△A_1{B}_1{C}_1}}{S_{△ABC}}=k^2={\left(\frac{5}{8}\right)}^2=\frac{25}{64}$

Знайдемо, у скільки разів площа початкового трикутника $ABC$ більша за площу трикутника $A_1{B}_1{C}_1$:
$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A_1{B}_1{C}_1}}=\frac{64}{25}=2,56$

Площа утвореного трикутника менша від площі початкового у $2,56$ раза.

Відповідь:
У $2,56$ раза.