Завдання № 6. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розв’яжіть трикутник $ABC$, якщо $AB=8\text{ см}$, $AC=9\text{ см}$, $BC=5\text{ см}$ (невідомі кути знайдіть із точністю до градуса).

Покроковий розв’язок:

Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути. Оскільки всі три сторони відомі, для знаходження кутів застосуємо теорему косинусів.

1. Знаходження кута $A$

За теоремою косинусів для сторони $BC$:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$

Звідси виражаємо $\cos \angle A$:
$\cos \angle A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$

Підставимо числові значення:
$\cos \angle A=\frac{8^2+9^2-5^2}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{64+81-25}{144}=\frac{120}{144}=\frac{5}{6}\approx 0,8333$

За таблицею косинусів або за допомогою калькулятора:
$\angle A\approx 34^{\circ }$

2. Знаходження кута $C$

За теоремою косинусів для сторони $AB$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Звідси виражаємо $\cos \angle C$:
$\cos \angle C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}$

Підставимо значення довжин сторін:
$\cos \angle C=\frac{9^2+5^2-8^2}{2\cdot 9\cdot 5}=\frac{81+25-64}{90}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx 0,4667$

Звідси:
$\angle C\approx 62^{\circ }$

3. Знаходження кута $B$

За теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Обчислимо величину кута $B$:
$\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)\approx 180^{\circ }-(34^{\circ }+62^{\circ })=180^{\circ }-96^{\circ }=84^{\circ }$

Відповідь: $\angle A\approx 34^{\circ }$, $\angle B\approx 84^{\circ }$, $\angle C\approx 62^{\circ }$.