Завдання № 6. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За якого значення $a$ точки $A(a;-4)$, $B(2;-a)$ і $C(8;17)$ лежать на одній прямій?

Покроковий розв’язок:
Точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій тоді й тільки тоді, коли вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{BC}$ є колінеарними.

1. Знайдемо координати векторів:
Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку:

2. Застосуємо умову колінеарності векторів:
Два вектори $\vec{u}(x_1;y_1)$ та $\vec{v}(x_2;y_2)$ є колінеарними, якщо виконується умова $x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1=0$ (або їхні відповідні координати пропорційні):

3. Розв’яжемо отримане рівняння:
Розкриємо дужки:

Зведемо подібні доданки:

Помножимо обидві частини рівняння на $-1$:

За теоремою Вієта:

Звідси знаходимо корені:

Отже, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій при $a=1$ або $a=-10$.

Відповідь:
$a=1$ або $a=-10$.