Завдання № 6. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Яким може бути найменший кут правильного многокутника?

Покроковий розв’язок:
1. Формула внутрішнього кута правильного многокутника
Сума всіх внутрішніх кутів опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою:
$S_n=180^{\circ }\cdot (n-2)$
Оскільки в правильному $n$-кутнику всі сторони рівні та всі кути рівні між собою, міра кожного його внутрішнього кута ${\alpha }_n$ становить:
${\alpha }_n=\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$

Поділимо почленно вираз у чисельнику на $n$:
${\alpha }_n=\frac{180^{\circ }\cdot n-360^{\circ }}{n}=180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$

2. Аналіз залежності кута від кількості сторін
З отриманого виразу ${\alpha }_n=180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$ видно:

• Значення кута ${\alpha }_n$ буде найменшим тоді, коли від’ємник $\frac{360^{\circ }}{n}$ набуває найбільшого можливого значення.
• Дріб $\frac{360^{\circ }}{n}$ досягає свого максимуму за мінімального значення знаменника $n$.

3. Знаходження найменшого кута
Оскільки многокутник повинен мати щонайменше три вершини, найменше можливе натуральне число сторін:
$n=3$
Ця фігура є правильним (рівностороннім) трикутником.

Обчислимо внутрішній кут для $n=3$:
${\alpha }_3=\frac{180^{\circ }\cdot (3-2)}{3}=\frac{180^{\circ }\cdot 1}{3}=60^{\circ }$

При збільшенні кількості сторін ($n=4,5,6,\dots$) величина кута тільки зростає ($90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },\dots$). Отже, найменшим внутрішнім кутом правильного многокутника є $60^{\circ }$.

Відповідь:
$60^{\circ }$