Завдання № 6. Домашня самостійна робота 5 (§§ 18–24) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Медіани двох правильних трикутників відносяться як $2:7$. Як відносяться площі цих трикутників?
А. $4:7$
Б. $2:7$
В. $4:49$
Г. $2:49$

Покроковий розв’язок:
1. Подібність правильних трикутників
Усі правильні (рівносторонні) трикутники подібні між собою, оскільки всі їхні кути рівні між собою і становлять по $60^{\circ }$.

2. Знаходження коефіцієнта подібності
У подібних трикутниках відношення будь-яких відповідних лінійних елементів (сторін, периметрів, медіан, бісектрис, висот) дорівнює коефіцієнту подібності $k$.
Оскільки за умовою медіани відносяться як $2:7$, то коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює:
$k=\frac{2}{7}$

3. Знаходження відношення площ
За теоремою про відношення площ подібних фігур, площі подібних многокутників (зокрема й трикутників) відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2$

Підставимо значення коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{2}{7}\right)}^2=\frac{4}{49}$

Отже, площі цих трикутників відносяться як $4:49$, що відповідає варіанту В.

Відповідь:
В. $4:49$