Завдання № 6.31. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Якого найменшого значення може набувати вираз $x^{2} + (y - 3)^{2} + (x - 4)^{2} + y^{2}$ ? За яких значень $x$ і $y$ досягається це значення?

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація виразу
Формула відстані між двома точками $A (x_{1}; y_{1})$ та $B (x_{2}; y_{2})$ на координатній площині має вигляд:
$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Нехай на координатній площині задано довільну точку $M (x; y)$ , а також дві фіксовані точки:

$O_{1} (0; 3)$
$O_{2} (4; 0)$

Тоді компоненти заданого виразу визначають довжини відповідних відрізків:

Відстань від точки $M (x; y)$ до точки $O_{1} (0; 3)$ дорівнює:
$M O_{1} = (x - 0)^{2} + (y - 3)^{2} = x^{2} + (y - 3)^{2}$
Відстань від точки $M (x; y)$ до точки $O_{2} (4; 0)$ дорівнює:
$M O_{2} = (x - 4)^{2} + (y - 0)^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}$

Отже, заданий алгебраїчний вираз геометрично є сумою відстаней від точки $M$ до точок $O_{1}$ та $O_{2}$ :
$M O_{1} + M O_{2}$

2. Знаходження найменшого значення виразу
За нерівністю трикутника для будь-яких трьох точок $M$ , $O_{1}$ та $O_{2}$ виконується співвідношення:
$M O_{1} + M O_{2} \geq O_{1} O_{2}$

Сума відстаней $M O_{1} + M O_{2}$ досягає найменшого значення тоді й лише тоді, коли точка $M$ лежить на відрізку $O_{1} O_{2}$ . У цьому випадку:
$min (M O_{1} + M O_{2}) = O_{1} O_{2}$

Обчислимо довжину відрізка $O_{1} O_{2}$ :
$O_{1} O_{2} = (4 - 0)^{2} + (0 - 3)^{2} = 4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$

Отже, найменше можливе значення даного виразу дорівнює $5$ .

3. Визначення значень $x$ і $y$
Найменше значення досягається для всіх точок $M (x; y)$ , що належать відрізку $O_{1} O_{2}$ .

Складемо рівняння прямої, яка проходить через точки $O_{1} (0; 3)$ та $O_{2} (4; 0)$ , використовуючи канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки:
$\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$

Підставимо координати точок:

\frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3} \frac{x}{4} = \frac{y - 3}{- 3} - 3 x = 4 (y - 3) - 3 x = 4 y - 12 4 y = - 3 x + 12 y = - \frac{3}{4} x + 3

Оскільки точка $M (x; y)$ повинна належати саме відрізку $O_{1} O_{2}$ , а не всій прямій, абсциса точки має лежати в межах від $0$ до $4$ .

Відповідь:
$5$ ; значення досягається при $y = - \frac{3}{4} x + 3$ , де $x \in [0; 4]$ .

Завдання № 6.31. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку