Завдання № 6.29. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано відрізки $a$ і $b$ ($a>b$). Використовуючи метричні співвідношення в прямокутному трикутнику, побудуйте відрізок:

1) $x=\sqrt{a\cdot b}$;

2) $y=\sqrt{a\cdot (a-b)}$.

Покроковий розв’язок:

В основі обох побудов лежать метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, вписаному в півколо (оскільки вписаний кут, що спирається на діаметр, є прямим).

1. Побудова відрізка $x=\sqrt{a\cdot b}$

Аналіз:
У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:
$h_c^2=a_c\cdot b_c⟹h_c=\sqrt{a_c\cdot b_c}$
Якщо відкласти на одній прямій відрізки $AK=a$ та $KB=b$, то довжина гіпотенузи дорівнюватиме $AB=a+b$, а висота $CK$, проведена з вершини прямого кута $C$ до точки $K$, дорівнюватиме шуканому відрізку $x=\sqrt{a\cdot b}$.

План побудови:

1) На довільній прямій відкладаємо послідовно відрізки $AK=a$ та $KB=b$. Отримуємо відрізок $AB=a+b$.

2) Знаходимо середину відрізка $AB$ (центр $O$) і будуємо півколо з діаметром $AB$ та радіусом $R=\frac{a+b}{2}$.

3) Через точку $K$ проводимо пряму, перпендикулярну до відрізка $AB$, яка перетинає півколо в точці $C$.

4) Оскільки $\angle ACB=90^{\circ }$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то в прямокутному трикутнику $△ACB$ відрізок $CK$ є висотою, опущеною на гіпотенузу:
$CK=\sqrt{AK\cdot KB}=\sqrt{a\cdot b}$
Отже, відрізок $CK$ — шуканий ($CK=x$).

2. Побудова відрізка $y=\sqrt{a\cdot (a-b)}$

Аналіз:
У прямокутному трикутнику кожен катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу:
$A{C}^2=AB\cdot AK⟹AC=\sqrt{AB\cdot AK}$
Якщо взяти за гіпотенузу відрізок $AB=a$, а проекцію катета обрати рівною $AK=a-b$ (для цього від точки $B$ відкладаємо відрізок $KB=b$, тоді $AK=AB-KB=a-b$), то довжина катета $AC$ дорівнюватиме:
$AC=\sqrt{AB\cdot AK}=\sqrt{a\cdot (a-b)}=y$

План побудови:

1) Будуємо відрізок $AB=a$.

2) Від точки $B$ у напрямку до точки $A$ відкладаємо відрізок $BK=b$. Тоді залишок становить $AK=a-b$.

3) Знаходимо середину відрізка $AB$ і будуємо півколо з діаметром $AB$.

4) Через точку $K$ проводимо перпендикуляр до відрізка $AB$ до перетину з півколом у точці $C$.

5) Сполучаємо точки $A$ і $C$.

6) Оскільки $\angle ACB=90^{\circ }$, то за метричним співвідношенням для катета прямокутного трикутника $△ABC$:
$AC=\sqrt{AB\cdot AK}=\sqrt{a\cdot (a-b)}$
Отже, відрізок $AC$ — шуканий ($AC=y$).

Відповідь:

1) Шуканим є відрізок $CK=\sqrt{a\cdot b}$ — висота прямокутного трикутника $△ABC$, опущена на гіпотенузу $AB=a+b$.

2) Шуканим є відрізок $AC=\sqrt{a\cdot (a-b)}$ — катет прямокутного трикутника $△ABC$ із гіпотенузою $AB=a$ та проекцією катета $AK=a-b$.