Завдання № 6.26. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У чотирикутнику $ABCD$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Через точку $O$ перетину його діагоналей проведено пряму, що перетинає сторони $BC$ і $AD$ у точках $E$ і $F$ відповідно, причому $BE\ne EC$. Серед векторів $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{DF}$, $\overrightarrow{CF}$ укажіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів;

4) рівних векторів;

5) векторів, що мають рівні модулі.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження властивостей фігури
За умовою $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. З рівності векторів випливає, що відрізки $AB$ і $CD$ паралельні та рівні за довжиною ($AB\parallel CD$ і $AB=CD$), а напрямки від $A$ до $B$ та від $D$ до $C$ збігаються. Отже, за ознакою чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

Діагоналі паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $O$ і діляться нею навпіл ($AO=OC$, $BO=OD$). Точка $O$ є центром симетрії паралелограма.

Пряма $EF$ проходить через центр симетрії $O$ та перетинає паралельні сторони $BC$ і $AD$:

• $\angle OCE=\angle OAF$ (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC\parallel AD$ та січній $AC$);
• $OC=OA$ (за властивістю діагоналей паралелограма);
• $\angle EOC=\angle FOA$ (як вертикальні кути).

Отже, $△OEC=△OFA$ за стороною та двома прилеглими кутами (друга ознака рівності трикутників).
З рівності трикутників випливає, що:

• $EC=AF$;
• $OE=OF$.

Оскільки відрізки $EC$ і $AF$ лежать на паралельних прямих ($BC\parallel AD$) і рівні за довжиною ($EC=AF$), чотирикутник $AECF$ також є паралелограмом.
Звідси випливає, що $AE\parallel CF$ і $AE=CF$.

Крім того, оскільки $BE\ne EC$, то точка $F$ не є серединою сторони $AD$, тому $AF\ne DF$.

2. Визначення пар колінеарних векторів
Колінеарними називають ненульові вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

• Вектори $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AF}$ і $\overrightarrow{DF}$ лежать на паралельних прямих $BC$ і $AD$ ($BC\parallel AD$). Отже, кожна пара з цих трьох векторів є колінеарною:
  • $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$;
  • $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{DF}$;
  • $\overrightarrow{AF}$ і $\overrightarrow{DF}$.
• Вектори $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CF}$ лежать на паралельних прямих $AE$ і $CF$ ($AE\parallel CF$ як протилежні сторони паралелограма $AECF$), тому вони також колінеарні:
  • $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CF}$.

3. Визначення співнапрямлених векторів
Співнапрямлені вектори — це колінеарні вектори, що мають однаковий напрямок ($\uparrow \uparrow$):

• Вектор $\overrightarrow{EC}$ напрямлений зліва направо (від $B$ до $C$).
• Вектор $\overrightarrow{AF}$ також напрямлений зліва направо (від $A$ до $D$).
  Отже, $\overrightarrow{EC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AF}$.

4. Визначення протилежно напрямлених векторів
Протилежно напрямлені вектори — це колінеарні вектори, що мають протилежні напрямки ($\uparrow \downarrow$):

• $\overrightarrow{AE}$ напрямлений вгору і вправо, а $\overrightarrow{CF}$ — вниз і вліво, тому $\overrightarrow{AE}\uparrow \downarrow \overrightarrow{CF}$;
• $\overrightarrow{EC}$ напрямлений вправо, а $\overrightarrow{DF}$ напрямлений вліво, тому $\overrightarrow{EC}\uparrow \downarrow \overrightarrow{DF}$;
• $\overrightarrow{AF}$ напрямлений вправо, а $\overrightarrow{DF}$ напрямлений вліво, тому $\overrightarrow{AF}\uparrow \downarrow \overrightarrow{DF}$.

5. Визначення рівних векторів
Вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені та мають рівні модулі:

• Вектори $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$ співнапрямлені ($\overrightarrow{EC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AF}$) та мають однакову довжину ($|\overrightarrow{EC}|=|\overrightarrow{AF}|=EC=AF$). Отже, $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AF}$.

6. Визначення векторів, що мають рівні модулі
Модуль вектора — це довжина відповідного відрізка:

• $|\overrightarrow{EC}|=|\overrightarrow{AF}|$, оскільки $EC=AF$ (з рівності трикутників $△OEC$ і $△OFA$);
• $|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{CF}|$, оскільки $AE=CF$ (як протилежні сторони паралелограма $AECF$).

Відповідь:

1) Колінеарні вектори: $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CF}$; $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$; $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{DF}$; $\overrightarrow{AF}$ і $\overrightarrow{DF}$.

2) Співнапрямлені вектори: $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$.

3) Протилежно напрямлені вектори: $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CF}$; $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{DF}$; $\overrightarrow{AF}$ і $\overrightarrow{DF}$.

4) Рівні вектори: $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$.

5) Вектори, що мають рівні модулі: $\overrightarrow{EC}$ і $\overrightarrow{AF}$; $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CF}$.