Завдання № 6.25. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У чотирикутнику $ABCD$ виконується рівність $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, точка $E$ — середина відрізка $BC$. Пряма $AE$ перетинає промінь $DC$ у точці $F$. Серед векторів $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CF}$ укажіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів;

4) рівних векторів;

5) векторів, що мають рівні модулі.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження геометричних властивостей фігури

• За умовою $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Оскільки ці вектори рівні, вони співнапрямлені ($\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$) та мають однакову довжину ($AB=DC$). Це означає, що протилежні сторони чотирикутника $ABCD$ паралельні й рівні ($AB\parallel DC$, $AB=DC$), отже, $ABCD$ — паралелограм за ознакою.
• З властивостей паралелограма випливає: $AD\parallel BC$, $AD=BC$, а також $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
• Точка $E$ є серединою відрізка $BC$, тому:
  $BE=EC=\frac{1}{2}\cdot BC$
• Розглянемо трикутники $△ABE$ та $△FCE$: 1) $\angle AEB=\angle FEC$ як вертикальні кути; 2) $BE=EC$ за умовою (точка $E$ — середина $BC$); 3) $\angle ABE=\angle FCE$ як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $AB\parallel DF$ та січній $BC$.
  Отже, $△ABE=△FCE$ за стороною і двома прилеглими кутами (II ознака рівності трикутників).
• З рівності трикутників маємо $CF=AB$. Оскільки точка $F$ лежить на продовженні сторони $DC$ за точку $C$, промінь $CF$ співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{AB}$, а їхні довжини однакові ($|\overrightarrow{CF}|=CF=AB=|\overrightarrow{AB}|$). Звідси:
  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CF}$

2. Визначення пар векторів
У розгляді беруть участь 5 векторів: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CF}$.

• 1) Колінеарні вектори (вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих):

  • На прямій $BC$ та паралельній їй прямій $AD$ лежать вектори $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CE}$ та $\overrightarrow{AD}$. Вони колінеарні між собою:
    • $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$;
    • $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$;
    • $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$.
  • На паралельних прямих $AB$ та $DF$ лежать вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$. Вони також колінеарні:
    • $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$.

• 2) Співнапрямлені вектори ($\uparrow \uparrow$):

  • $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CF}$ (обидва напрямлені вправо вздовж паралельних прямих);
  • $\overrightarrow{BE}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AD}$ (обидва напрямлені вгору вздовж паралельних прямих $BC$ і $AD$).

• 3) Протилежно напрямлені вектори ($\uparrow \downarrow$):

  • $\overrightarrow{CE}\uparrow \downarrow \overrightarrow{AD}$ (вектор $\overrightarrow{CE}$ напрямлений вниз, а вектор $\overrightarrow{AD}$ — вгору);
  • $\overrightarrow{BE}\uparrow \downarrow \overrightarrow{CE}$ (вектори лежать на одній прямій і спрямовані назустріч один одному).

• 4) Рівні вектори (співнапрямлені та мають однакову довжину):

  • $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$ (оскільки $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CF}$ та $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CF}|$).

• 5) Вектори, що мають рівні модулі:

  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CF}|$ (пара $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$);
  • $|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{CE}|$ (пара $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$, оскільки $E$ — середина відрізка $BC$).

Відповідь:

1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$;

2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$;

3) $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$;

4) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$;

5) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$.