Завдання № 6.24. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Визначте вид чотирикутника $ABCD$, якщо:

1) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$;

2) $\overrightarrow{BC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AD}$, вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ — неколінеарні.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження чотирикутника за першою умовою:

• За означенням рівності векторів, рівність $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ означає, що: 1) вектори співнапрямлені ($\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$), тобто лежать на паралельних прямих: $AB\parallel DC$; 2) їхні довжини рівні: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, отже, $AB=DC$.
• За ознакою паралелограма: якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні й паралельні ($AB\parallel DC$ та $AB=DC$), то цей чотирикутник є паралелограмом. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
• За умовою також відомо, що $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$, звідки випливає, що дві сусідні сторони паралелограма рівні між собою ($AB=BC$).
• За ознакою ромба: паралелограм, у якого сусідні сторони рівні, є ромбом.
• Отже, у першому випадку чотирикутник $ABCD$ — ромб.

2. Дослідження чотирикутника за другою умовою:

• Умова $\overrightarrow{BC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AD}$ означає, що вектори співнапрямлені. Отже, вони колінеарні й лежать на паралельних прямих: $BC\parallel AD$. Сторони $BC$ та $AD$ є протилежними сторонами чотирикутника.
• Умова про те, що вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ неколінеарні, означає, що прямі $AB$ і $DC$ не є паралельними.
• За означенням трапеції: чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні ($BC\parallel AD$), а дві інші — не паралельні ($AB\nparallel DC$), є трапецією з основами $BC$ і $AD$.
• Отже, у другому випадку чотирикутник $ABCD$ — трапеція.

Відповідь:

1) Ромб;

2) трапеція.