Завдання № 6.23. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

(Усно.) Чи правильне твердження:

1) якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$;

2) якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\parallel \vec{b}$;

3) якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$;

4) якщо $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$, то $\vec{a}=\vec{b}$;

5) якщо $\vec{a}\parallel \vec{b}$, то $\vec{a}=\vec{b}$?

Покроковий розв’язок:

Для перевірки тверджень скористаємося базовими геометричними означеннями рівності та колінеарності векторів:

• Два ненульових вектори називаються рівними, якщо їхні модулі (довжини) рівні і вони співнапрямлені: $\vec{a}=\vec{b}⟺|\vec{a}|=|\vec{b}|$ та $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$.
• Два ненульових вектори називаються колінеарними ($\vec{a}\parallel \vec{b}$), якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Будь-які співнапрямлені ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$) або протилежно напрямлені ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$) вектори є колінеарними.

1. Твердження: «якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$»
Твердження є правильним. За означенням рівних векторів, якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то вони обов’язково є співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$) та мають однакову довжину.

2. Твердження: «якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\parallel \vec{b}$»
Твердження є правильним. Оскільки рівні вектори є співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$), вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій, а отже, є колінеарними ($\vec{a}\parallel \vec{b}$).

3. Твердження: «якщо $\vec{a}=\vec{b}$, то $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$»
Твердження є неправильним. Рівні ненульові вектори за означенням мають однаковий напрямок ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$), тому вони не можуть бути протилежно напрямленими ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

4. Твердження: «якщо $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$, то $\vec{a}=\vec{b}$»
Твердження є неправильним. Для рівності векторів недостатньо лише однакового напрямку — обов’язковою є також рівність їхніх модулів ($|\vec{a}|=|\vec{b}|$). Співнапрямлені вектори можуть мати різну довжину.

5. Твердження: «якщо $\vec{a}\parallel \vec{b}$, то $\vec{a}=\vec{b}$»
Твердження є неправильним. Колінеарні вектори можуть бути протилежно напрямленими ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$) або мати різні довжини ($|\vec{a}|\ne |\vec{b}|$), отже, вони не обов’язково є рівними.

Відповідь:

1) Так (правильне);

2) Так (правильне);

3) Ні (неправильне);

4) Ні (неправильне);

5) Ні (неправильне).