Завдання № 6.22. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У квадраті $A B C D$ діагональ $A C$ дорівнює $42$ , точка $N$ — середина сторони $A D$ . Знайдіть модулі векторів $B D$ , $A B$ , $D N$ , $B N$ .

Креслення до завдання 6.22

Покроковий розв’язок:

Модуль вектора дорівнює довжині відрізка, що його задає. Тобто:
$∣ B D ∣ = B D, ∣ A B ∣ = A B, ∣ D N ∣ = D N, ∣ B N ∣ = B N$

1. Знаходження довжини сторони квадрата та модуля вектора $A B$

Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник $△ A B C$ ( $∠ B = 9 0^{\circ}$ , $A B = B C$ ).
За властивістю квадрата, його діагональ пов’язана зі стороною співвідношенням:
$A C = A B \cdot 2$

Звідси знайдемо сторону квадрата $A B$ :
$A B = \frac{A C}{2} = \frac{4 2}{2} = 4$

Отже, модуль вектора $A B$ дорівнює:
$∣ A B ∣ = A B = 4$

2. Знаходження модуля вектора $B D$

Оскільки діагоналі квадрата рівні між собою, маємо:
$B D = A C = 42$

Отже, модуль вектора $B D$ дорівнює:
$∣ B D ∣ = B D = 42$

3. Знаходження модуля вектора $D N$

Усі сторони квадрата рівні, тому $A D = A B = 4$ .
Оскільки точка $N$ є серединою сторони $A D$ , довжина відрізка $D N$ дорівнює половині цієї сторони:
$D N = \frac{A D}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Отже, модуль вектора $D N$ становить:
$∣ D N ∣ = D N = 2$

4. Знаходження модуля вектора $B N$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B N$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ).
Довжина катета $A B = 4$ , а катет $A N = D N = 2$ .
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $B N$ :
$B N = A B^{2} + A N^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 20 = 4 \cdot 5 = 25$

Отже, модуль вектора $B N$ дорівнює:
$∣ B N ∣ = B N = 25$

Відповідь:
$∣ B D ∣ = 42$ ; $∣ A B ∣ = 4$ ; $∣ D N ∣ = 2$ ; $∣ B N ∣ = 25$ .

Завдання № 6.22. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку