Завдання № 6.18. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи можуть бути рівними вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$, якщо точки $A$ і $B$ різні?

Покроковий розв’язок:

1. Означення рівності векторів
За означенням, два ненульові вектори називаються рівними тоді й лише тоді, коли виконуються дві умови:

1) їхні модулі (довжини) рівні;

2) вони є співнапрямленими.

2. Порівняння модулів векторів
Модуль вектора дорівнює довжині відрізка, що сполучає його початок і кінець:
$|\overrightarrow{AB}|=AB,|\overrightarrow{BA}|=BA$
Оскільки довжина відрізка не залежить від порядку його кінців ($AB=BA$), то довжини векторів рівні:
$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|$
За умовою точки $A$ і $B$ різні, тому довжина відрізка $AB>0$, отже, обидва вектори є ненульовими.

3. Порівняння напрямків векторів
Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ розташовані на одній прямій $AB$. Проте:

• початком вектора $\overrightarrow{AB}$ є точка $A$, а кінцем — точка $B$ (напрямок від $A$ до $B$);
• початком вектора $\overrightarrow{BA}$ є точка $B$, а кінцем — точка $A$ (напрямок від $B$ до $A$).

Оскільки промені $[AB)$ і $[BA)$ напрямлені в протилежні боки, вектори є протилежно напрямленими:
$\overrightarrow{AB}\uparrow \downarrow \overrightarrow{BA}$

4. Висновок
Оскільки вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ не є співнапрямленими, умова рівності векторів порушується. Вони є протилежними: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$, а отже, не можуть бути рівними:
$\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$

Відповідь:
Ні, не можуть. Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ мають рівні модулі, але є протилежно напрямленими ($\overrightarrow{AB}\uparrow \downarrow \overrightarrow{BA}$), тому вони протилежні, а не рівні: $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$.