Завдання № 6.17. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — квадрат, $O$ — точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, що дорівнює вектору:

1) $\overrightarrow{AB}$;

2) $\overrightarrow{DA}$;

3) $\overrightarrow{BO}$;

4) $\overrightarrow{OA}$.

Покроковий розв’язок:

За означенням, два ненульових вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину (модуль) і є співнапрямленими:

Згадаємо властивості квадрата:

• Усі сторони рівні між собою: $AB=BC=CD=DA$.
• Протилежні сторони попарно паралельні: $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$.
• Діагоналі квадрата рівні й точкою перетину $O$ діляться навпіл: $AO=OC=BO=OD$.

1. Пошук вектора, що дорівнює $\overrightarrow{AB}$:
Сторони $AB$ і $DC$ лежать на паралельних прямих ($AB\parallel DC$) та мають рівні довжини ($AB=DC$). Вектор $\overrightarrow{AB}$ напрямлений від $A$ до $B$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ напрямлений від $D$ до $C$ — в один і той самий бік. Отже, вектори є співнапрямленими: $\overrightarrow{DC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AB}$. Оскільки $|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{AB}|$, то:

2. Пошук вектора, що дорівнює $\overrightarrow{DA}$:
Протилежні сторони $BC$ і $AD$ паралельні ($CB\parallel DA$) і рівні ($CB=DA$). Вектор $\overrightarrow{DA}$ напрямлений від $D$ до $A$, а вектор $\overrightarrow{CB}$ — від $C$ до $B$. Обидва вектори спрямовані справа наліво, отже, вони співнапрямлені: $\overrightarrow{CB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DA}$. Оскільки $|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{DA}|$, маємо:

3. Пошук вектора, що дорівнює $\overrightarrow{BO}$:
Точка $O$ є серединою діагоналі $BD$, тому відрізки $BO$ та $OD$ лежать на одній прямій і рівні за довжиною ($BO=OD$). Оскільки напрямок руху від точки $B$ до $O$ збігається з напрямком від $O$ до $D$, ці вектори є співнапрямленими: $\overrightarrow{OD}\uparrow \uparrow \overrightarrow{BO}$. Враховуючи рівність модулів $|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{BO}|$, отримуємо:

4. Пошук вектора, що дорівнює $\overrightarrow{OA}$:
Точка $O$ є серединою діагоналі $AC$, тому відрізки $CO$ та $OA$ лежать на одній прямій і мають рівні довжини ($CO=OA$). Напрямок вектора $\overrightarrow{CO}$ (від $C$ до $O$) збігається з напрямком вектора $\overrightarrow{OA}$ (від $O$ до $A$), отже, $\overrightarrow{CO}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OA}$. Оскільки $|\overrightarrow{CO}|=|\overrightarrow{OA}|$, маємо:

Відповідь:

1) $\overrightarrow{DC}$;

2) $\overrightarrow{CB}$;

3) $\overrightarrow{OD}$;

4) $\overrightarrow{CO}$.