Завдання № 6.16. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$KLMN$ — ромб, $O$ — точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, рівний вектору:

1) $\overrightarrow{LM}$;

2) $\overrightarrow{KL}$;

3) $\overrightarrow{OK}$;

4) $\overrightarrow{NO}$.

Покроковий розв’язок:

За означенням, два вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені та їхні модулі (довжини) рівні:
$\vec{a}=\vec{b}⟺\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}\text{та}|\vec{a}|=|\vec{b}|$

Оскільки будь-який ромб є паралелограмом, для нього виконуються такі геометричні властивості:

• Протилежні сторони ромба паралельні та рівні між собою: $KL\parallel NM$, $KL=NM$ та $LM\parallel KN$, $LM=KN$.
• Діагоналі ромба точкою перетину $O$ діляться навпіл: $KO=OM$ та $LO=ON$.

1. Пошук вектора, рівного $\overrightarrow{LM}$:

• Сторони $KN$ та $LM$ протилежні, тому $KN\parallel LM$ та $KN=LM$.
• Напрямок вектора $\overrightarrow{LM}$ веде від вершини $L$ до вершини $M$.
• На прямій $KN$ співнапрямленим до нього є вектор $\overrightarrow{KN}$, який веде від $K$ до $N$ ($\overrightarrow{LM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{KN}$).
• Оскільки $|\overrightarrow{LM}|=|\overrightarrow{KN}|$ та $\overrightarrow{LM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{KN}$, маємо:
  $\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{KN}$

2. Пошук вектора, рівного $\overrightarrow{KL}$:

• Сторони $KL$ та $NM$ протилежні, отже, $KL\parallel NM$ та $KL=NM$.
• Вектор $\overrightarrow{KL}$ спрямований від вершини $K$ до вершини $L$.
• Вектор $\overrightarrow{NM}$ лежить на паралельній прямій і має той самий напрямок — від $N$ до $M$ ($\overrightarrow{KL}\uparrow \uparrow \overrightarrow{NM}$).
• Оскільки їхні модулі рівні ($|\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{NM}|$), отримуємо:
  $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$

3. Пошук вектора, рівного $\overrightarrow{OK}$:

• Діагональ $KM$ точкою перетину $O$ ділиться навпіл, тому відрізки $MO$ та $OK$ рівні: $MO=OK$.
• Обидва вектори $\overrightarrow{MO}$ та $\overrightarrow{OK}$ лежать на одній прямій $KM$ і мають однаковий напрямок (з права наліво, від $M$ через $O$ до $K$), отже, вони співнапрямлені: $\overrightarrow{OK}\uparrow \uparrow \overrightarrow{MO}$.
• Оскільки $|\overrightarrow{OK}|=|\overrightarrow{MO}|$, маємо:
  $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{MO}$

4. Пошук вектора, рівного $\overrightarrow{NO}$:

• Діагональ $LN$ точкою $O$ ділиться навпіл, тобто $NO=OL$.
• Вектори $\overrightarrow{NO}$ та $\overrightarrow{OL}$ лежать на одній прямій $LN$ і спрямовані в один бік (знизу вгору, від $N$ через $O$ до $L$), тому $\overrightarrow{NO}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OL}$.
• Оскільки довжини цих векторів рівні ($|\overrightarrow{NO}|=|\overrightarrow{OL}|$), маємо:
  $\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{OL}$

Відповідь:

1) $\overrightarrow{KN}$;

2) $\overrightarrow{NM}$;

3) $\overrightarrow{MO}$;

4) $\overrightarrow{OL}$.