Завдання № 6.10. § 6. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На малюнку 6.14 $KLMN$ — паралелограм. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають однакові модулі. Виконайте відповідні записи.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз векторів, зображених на малюнку
На малюнку зображено чотири вектори, що лежать на сторонах паралелограма $KLMN$:

• $\overrightarrow{KL}$ — напрямлений від точки $K$ до точки $L$;
• $\overrightarrow{NM}$ — напрямлений від точки $N$ до точки $M$;
• $\overrightarrow{KN}$ — напрямлений від точки $K$ до точки $N$;
• $\overrightarrow{ML}$ — напрямлений від точки $M$ до точки $L$.

За властивістю паралелограма протилежні сторони паралельні й рівні між собою:
$KL\parallel NM,KL=NM$
$KN\parallel LM,KN=ML$

2. Визначення векторів з однаковими модулями
Модуль (довжина) вектора визначається довжиною відповідного відрізка. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то рівними є й модулі відповідних векторів:

• для пари $\overrightarrow{KL}$ та $\overrightarrow{NM}$:
  $|\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{NM}|$
• для пари $\overrightarrow{KN}$ та $\overrightarrow{ML}$:
  $|\overrightarrow{KN}|=|\overrightarrow{ML}|$

3. Визначення рівних векторів
За означенням два вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені ($\uparrow \uparrow$) та мають однакові модулі:

• Розглянемо пару $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{NM}$: сторони $KL\parallel NM$, відрізки $KL=NM$, а стрілки спрямовані в один бік. Отже, вектори співнапрямлені ($\overrightarrow{KL}\uparrow \uparrow \overrightarrow{NM}$) і мають однакові модулі ($|\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{NM}|$), звідки:
  $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$
• Розглянемо пару $\overrightarrow{KN}$ і $\overrightarrow{ML}$: сторони $KN\parallel LM$ і мають однакову довжину ($|\overrightarrow{KN}|=|\overrightarrow{ML}|$), проте стрілка вектора $\overrightarrow{KN}$ спрямована праворуч, а вектора $\overrightarrow{ML}$ — ліворуч. Оскільки ці вектори протилежно напрямлені ($\overrightarrow{KN}\uparrow \downarrow \overrightarrow{ML}$), вони є протилежними ($\overrightarrow{KN}=-\overrightarrow{ML}$), але не рівними.

Відповідь:

• Рівні вектори: $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$.
• Вектори, що мають однакові модулі: $|\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{NM}|$ та $|\overrightarrow{KN}|=|\overrightarrow{ML}|$.