Завдання № 59. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Діагоналі прямокутника лежать на прямих $y=-3x+1$ і $y=3x-5$.

1) Складіть рівняння осей симетрії прямокутника.

2) Знайдіть координати вершин прямокутника, якщо одна з його сторін проходить через точку $(2;-1)$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження точки перетину діагоналей прямокутника

Діагоналі будь-якого прямокутника перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. Ця точка є центром симетрії фігури. Знайдемо її координати, розв’язавши систему рівнянь, які задають діагоналі:

Підставимо отримане значення $x=1$ в одне з рівнянь:
$y=3\cdot 1-5=-2$

Отже, діагоналі перетинаються в точці $O(1;-2)$.

2. Складання рівнянь осей симетрії прямокутника

Прямокутник має дві осі симетрії, які є серединними перпендикулярами до його сторін, проходять через точку перетину діагоналей $O(1;-2)$ та ділять кути між діагоналями навпіл (є бісектрисами кутів між ними).

Кутові коефіцієнти діагоналей дорівнюють $k_1=-3$ та $k_2=3$. Оскільки $k_1=-k_2$, діагоналі утворюють рівні кути з осями координат, тобто розташовані симетрично відносно прямих, паралельних осям $Ox$ та $Oy$. Отже, бісектриси кутів між ними (а отже, і осі симетрії прямокутника) є паралельними осям координат:

• вертикальна вісь проходить через точку $O(1;-2)$ і має рівняння $x=1$;
• горизонтальна вісь проходить через точку $O(1;-2)$ і має рівняння $y=-2$.

3. Знаходження координат вершин прямокутника

Оскільки осі симетрії прямокутника паралельні осям координат, то сторони прямокутника, які перпендикулярні до відповідних осей симетрії, також паралельні осям координат.

Точка $(2;-1)$ належить одній зі сторін.
Пряма, що містить цю сторону, може бути:

• вертикальною прямою $x=2$;
• горизонтальною прямою $y=-1$.

Перевіримо вертикальну пряму $x=2$. Знайдемо точки її перетину з діагоналями прямокутника, підставивши $x=2$ у рівняння діагоналей:
$y=-3\cdot 2+1=-5$
$y=3\cdot 2-5=1$

Отримуємо дві вершини прямокутника: $(2;1)$ та $(2;-5)$. Задана точка $(2;-1)$ належить відрізку між цими вершинами, оскільки $-5⩽-1⩽1$.

Протилежна вертикальна сторона прямокутника симетрична стороні $x=2$ відносно осі симетрії $x=1$. Відстань від прямої $x=2$ до осі $x=1$ дорівнює $|2-1|=1$. Отже, рівняння протилежної сторони:
$x=1-1=0\text{ (вісь ординат)}$

Знайдемо ординати двох інших вершин, підставивши $x=0$ у рівняння діагоналей:
$y=-3\cdot 0+1=1$
$y=3\cdot 0-5=-5$

Отримуємо ще дві вершини: $(0;1)$ та $(0;-5)$.

Відповідь:

1) $x=1$, $y=-2$;

2) $(0;1)$, $(2;1)$, $(2;-5)$, $(0;-5)$.