Завдання № 59. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трапеції з основами $a$ і $b$ проведено відрізок, паралельний основам. Цей відрізок розбиває задану трапецію на дві менші трапеції, подібні між собою. Знайдіть довжину цього відрізка.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай задано трапецію $ABCD$ з основами $BC=a$ та $AD=b$ ($a<b$).

Паралельно основам проведено відрізок $MN\parallel BC\parallel AD$ ($M\in AB$, $N\in CD$). Позначимо довжину цього відрізка через $m$, тобто $MN=m$.

Відрізок $MN$ ділить трапецію $ABCD$ на дві трапеції: $BCNM$ (з основами $BC$ та $MN$) і $MNDA$ (з основами $MN$ та $AD$).

2. Використання властивості подібних многокутників

За умовою трапеція $BCNM$ подібна трапеції $MNDA$.

У подібних фігур відношення довжин відповідних сторін є рівними. Відрізок $MN$ є більшою основою для трапеції $BCNM$ та водночас меншою основою для трапеції $MNDA$:

Підставимо у пропорцію задані позначення довжин:

3. Обчислення шуканої довжини

За основною властивістю пропорції перемножимо крайні та середні члени:

Оскільки довжина відрізка є величиною додатною ($m>0$), добудемо квадратний корінь з обох частин рівності:

Таким чином, довжина відрізка, що ділить трапецію на дві подібні, є середнім геометричним довжин її основ.

Відповідь: $\sqrt{a\cdot b}$ (або $\sqrt{ab}$).