Завдання № 58. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Побудуйте трикутник за трьома його медіанами.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано три відрізки, довжини яких дорівнюють медіанам шуканого трикутника: $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ .

1. Аналіз задачі
Припустимо, що шуканий $△ A B C$ побудовано. Нехай $A K = m_{a}$ , $B L = m_{b}$ , $C P = m_{c}$ — його медіани, а точка $M$ — центроїд (точка перетину медіан).
За властивістю медіан трикутника вони перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершини:
$A M = \frac{2}{3} m_{a}, M K = \frac{1}{3} m_{a}$
$B M = \frac{2}{3} m_{b}, C M = \frac{2}{3} m_{c}$

Продовжимо медіану $A K$ за точку $K$ на відрізок $K M_{1} = M K = \frac{1}{3} m_{a}$ .
Тоді довжина відрізка $M M_{1}$ дорівнює:
$M M_{1} = M K + K M_{1} = \frac{1}{3} m_{a} + \frac{1}{3} m_{a} = \frac{2}{3} m_{a}$

Розглянемо чотирикутник $M B M_{1} C$ : його діагоналі $B C$ і $M M_{1}$ перетинаються в точці $K$ і діляться нею навпіл ( $B K = K C$ , оскільки $A K$ — медіана, і $M K = K M_{1}$ за побудовою). Отже, за ознакою паралелограма чотирикутник $M B M_{1} C$ є паралелограмом.
Звідси випливає, що протилежні сторони рівні:
$M_{1} C = B M = \frac{2}{3} m_{b}$

Таким чином, у допоміжному трикутнику $△ M M_{1} C$ відомі довжини всіх трьох сторін:
$M M_{1} = \frac{2}{3} m_{a}, M_{1} C = \frac{2}{3} m_{b}, M C = \frac{2}{3} m_{c}$
Цей трикутник можна побудувати за трьома сторонами, після чого легко відновити вершини $A$ і $B$ .

2. Допоміжна побудова (поділ відрізка у відношенні $2 : 1$ )
За допомогою теореми Фалеса поділимо кожен із трьох заданих відрізків $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ на $3$ рівні частини та візьмемо відрізки, що складають $\frac{2}{3}$ відповідної медіани:
$s_{a} = \frac{2}{3} m_{a}, s_{b} = \frac{2}{3} m_{b}, s_{c} = \frac{2}{3} m_{c}$

3. План побудови

1) Будуємо допоміжний $△ M M_{1} C$ за трьома сторонами: $M M_{1} = s_{a}$ , $M_{1} C = s_{b}$ , $M C = s_{c}$ .

2) Знаходимо точку $K$ — середину сторони $M M_{1}$ .

3) Проводимо промінь $C K$ і відкладаємо на ньому за точку $K$ відрізок $K B = C K$ (оскільки $K$ — середина сторони $B C$ ). Отримуємо вершину $B$ .

4) На промені $M_{1} M$ за точку $M$ відкладаємо відрізок $M A = M M_{1} = \frac{2}{3} m_{a}$ . Отримуємо вершину $A$ .

5) Сполучаємо вершину $A$ з точками $B$ і $C$ . Трикутник $△ A B C$ — шуканий.

4. Доведення

За побудовою $K$ — середина $B C$ , отже, відрізок $A K$ є медіаною $△ A B C$ .
Відрізок $M M_{1} = 2 \cdot M K$ , звідки $M K = \frac{1}{2} M M_{1} = \frac{1}{3} m_{a}$ . Тоді $A M = M M_{1} = \frac{2}{3} m_{a}$ , отже, $A M : M K = 2 : 1$ , що підтверджує: $M$ є точкою перетину медіан $△ A B C$ , а довжина $A K = A M + M K = m_{a}$ .
У чотирикутнику $M B M_{1} C$ діагоналі $B C$ і $M M_{1}$ діляться точкою перетину $K$ навпіл, тому $M B M_{1} C$ — паралелограм. Отже, $B M = M_{1} C = \frac{2}{3} m_{b}$ та $C M = \frac{2}{3} m_{c}$ . Оскільки медіани проходять через точку $M$ і діляться нею у відношенні $2 : 1$ , їхні повні довжини дорівнюють відповідно $m_{b}$ і $m_{c}$ .

5. Дослідження
Задача має розв’язок тоді й тільки тоді, коли існує допоміжний $△ M M_{1} C$ , тобто коли для відрізків $\frac{2}{3} m_{a}$ , $\frac{2}{3} m_{b}$ , $\frac{2}{3} m_{c}$ (а отже, і для самих заданих медіан $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ ) виконується нерівність трикутника:
$m_{a} + m_{b} > m_{c}, m_{a} + m_{c} > m_{b}, m_{b} + m_{c} > m_{a}$
Якщо ці умови виконуються, шуканий трикутник існує і є єдиним (з точністю до руху).

Відповідь:
Трикутник будується за допомогою допоміжного трикутника $△ M M_{1} C$ зі сторонами, що дорівнюють $\frac{2}{3}$ кожної з трьох заданих медіан, з подальшим подвоєнням медіани $C K$ для отримання вершини $B$ та відкладанням відрізка $M A = M M_{1}$ на продовженні $M_{1} M$ для отримання вершини $A$ . Розв’язок існує і є єдиним за умови, що з трьох заданих відрізків медіан можна утворити трикутник.

Завдання № 58. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку