Завдання № 58. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Два многокутники розбито на однакову кількість попарно подібних між собою трикутників. Чи можна стверджувати, що ці многокутники подібні?

Покроковий розв’язок:

1. Означення подібності многокутників
За означенням, два многокутники називаються подібними, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

Якщо многокутники розбиті на однакову кількість подібних трикутників, спосіб їхнього взаємного розташування (склеювання) може бути різним. Через це кути утворених многокутників можуть не збігатися, а отже, многокутники не будуть подібними.

2. Контрприклад
Розглянемо дві пари однакових рівнобедрених трикутників із кутами $70^{\circ }$, $55^{\circ }$, $55^{\circ }$:

• У першому чотирикутнику $ABDC$ два такі трикутники ($△ABC$ та $△DBC$) склеєні за спільною основою $BC$. Утворений чотирикутник має кути:
  $\angle A=70^{\circ },\angle D=70^{\circ },\angle ABD=\angle ACD=55^{\circ }+55^{\circ }=110^{\circ }$
• У другому чотирикутнику $D^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ два таких самих трикутники ($△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ та $△A^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$) склеєні за бічною стороною $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Утворений чотирикутник має зовсім інші кути:
  $\angle B^{\prime }=55^{\circ },\angle D^{\prime }=55^{\circ },\angle D^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }=70^{\circ }+70^{\circ }=140^{\circ },\angle D^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=55^{\circ }+55^{\circ }=110^{\circ }$

Оскільки відповідні кути цих чотирикутників не рівні (наприклад, $70^{\circ }\ne 140^{\circ }$ та $70^{\circ }\ne 55^{\circ }$), чотирикутники не подібні.

Відповідь:
Ні, стверджувати не можна.