Завдання № 57. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $A B C$ на сторонах $A B$ і $B C$ позначено точки $D$ і $E$ відповідно так, що $D E ∥ A C$ . Площа трикутника $A B C$ дорівнює $8 см^{2}$ , а площа трикутника $D E C$ дорівнює $2 см^{2}$ . Знайдіть відношення відрізка $D E$ до сторони $A C$ .

Покроковий розв’язок:

1. Доведення подібності трикутників

Розглянемо прямі $D E$ і $A C$ , перетнуті січними $A B$ та $B C$ :

$∠ B D E = ∠ B A C$ як відповідні кути при $D E ∥ A C$ і січній $A B$ ;
$∠ B E D = ∠ B C A$ як відповідні кути при $D E ∥ A C$ і січній $B C$ .

Отже, за двома кутами:

△ B D E \sim △ B A C

2. Введення відношення та зв’язок між висотами

Нехай шукане відношення дорівнює коефіцієнту подібності $k$ :

k = \frac{D E}{A C} (0 < k < 1)

Звідси довжина сторони $D E$ виражається як:

D E = k \cdot A C

Проведемо висоту $B M$ трикутника $A B C$ до сторони $A C$ ( $B M ⊥ A C$ ), довжину якої позначимо $H$ .

Ця висота перетинає відрізок $D E$ у точці $K$ , причому $B K ⊥ D E$ (оскільки $D E ∥ A C$ ). Відрізок $B K = h_{1}$ є висотою трикутника $B D E$ .

З подібності трикутників $△ B D E \sim △ B A C$ відношення відповідних висот дорівнює коефіцієнту подібності:

\frac{B K}{B M} = \frac{h _{1}}{H} = k ⟹ h_{1} = k \cdot H

3. Знаходження висоти трикутника $D E C$

Оскільки прямі $D E$ та $A C$ паралельні, відстань між ними скрізь однакова і дорівнює довжині відрізка $K M$ :

h_{відст} = K M = B M - B K = H - h_{1} = H - k \cdot H = H (1 - k)

Відрізок $K M$ є висотою трикутника $D E C$ , опущеною з вершини $C$ на пряму, яка містить основу $D E$ .

4. Співвідношення площ трикутників

За формулою площі трикутника:

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot H = 8 см^{2}

Запишемо площу трикутника $D E C$ :

S_{△ D E C} = \frac{1}{2} \cdot D E \cdot K M = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot A C) \cdot (H (1 - k))

Винесемо множники $k (1 - k)$ за дужки:

S_{△ D E C} = k (1 - k) \cdot (\frac{1}{2} \cdot A C \cdot H) = k (1 - k) \cdot S_{△ A B C}

5. Обчислення коефіцієнта $k$

Підставимо відомі з умови числові значення площ $S_{△ D E C} = 2 см^{2}$ та $S_{△ A B C} = 8 см^{2}$ :

2 = k (1 - k) \cdot 8

Поділимо обидві частини рівняння на $8$ :

k (1 - k) = \frac{2}{8}

k - k^{2} = \frac{1}{4}

Помножимо всі члени на $4$ та перенесемо їх в один бік:

4 k^{2} - 4 k + 1 = 0

Згорнемо ліву частину за формулою квадрата двочлена:

(2 k - 1)^{2} = 0

2 k - 1 = 0 ⟹ k = \frac{1}{2}

Отже, шукане відношення:

\frac{D E}{A C} = \frac{1}{2}

Відповідь:
$\frac{1}{2}$

Завдання № 57. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку