Завдання № 57. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Середня лінія ділить трапецію на дві трапеції.

1) Чи подібні між собою трапеції, що утворилися?

2) Чи подібна будь-яка із цих трапецій даній?

Покроковий розв’язок:

Нехай дано трапецію $ABCD$ з основами $BC=a$, $AD=b$ ($a\ne b$) та бічними сторонами $AB$ і $CD$. Відрізок $MN$ — середня лінія трапеції, де точки $M$ і $N$ — середини бічних сторін $AB$ і $CD$ відповідно.

За означенням середньої лінії трапеції:
$MN=m=\frac{a+b}{2}$

Середня лінія утворює дві нові трапеції: $MBCN$ (з основами $BC$ та $MN$) і $AMND$ (з основами $MN$ та $AD$).

1. Дослідження подібності утворених трапецій $MBCN$ і $AMND$

Оскільки $M$ — середина відрізка $AB$, а $N$ — середина відрізка $CD$, маємо:
$MB=AM=\frac{1}{2}\cdot AB,NC=ND=\frac{1}{2}\cdot CD$

Відповідні бічні сторони утворених трапецій рівні між собою:
$\frac{MB}{AM}=1\text{і}\frac{NC}{ND}=1$

Якби ці многокутники були подібними, коефіцієнт подібності мав би дорівнювати відношенню відповідних бічних сторін, тобто $k=1$. Проте трапеції з коефіцієнтом подібності $k=1$ є рівними, що вимагало б рівності їхніх основ ($BC=MN$ та $MN=AD⟹a=b$).

За означенням трапеції її основи не можуть бути рівними ($a\ne b$). Зокрема, якщо $a<b$, то:
$a<\frac{a+b}{2}<b⟹BC<MN<AD$

Тому відношення відповідних основ дорівнює:
$\frac{BC}{MN}=\frac{a}{m}<1\text{та}\frac{MN}{AD}=\frac{m}{b}<1$

Оскільки відношення бічних сторін дорівнює $1$, а відношення відповідних паралельних основ строго менше за $1$, відношення відповідних сторін не є рівними. Отже, трапеції $MBCN$ і $AMND$ не подібні.

2. Дослідження подібності кожної з утворених трапецій до даної трапеції $ABCD$

Для подібності трапецій відношення всіх відповідних сторін мають бути однаковими.

• Для верхньої трапеції $MBCN$ та даної трапеції $ABCD$:
  Відношення бічної сторони $MB$ до сторони $AB$:
  $\frac{MB}{AB}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB}{AB}=\frac{1}{2}$
  Водночас сторона $BC$ є спільною верхньою основою:
  $\frac{BC}{BC}=1$
  Оскільки $\frac{1}{2}\ne 1$, відношення сторін не рівні, тому трапеція $MBCN$ не подібна трапеції $ABCD$.

• Для нижньої трапеції $AMND$ та даної трапеції $ABCD$:
  Відношення бічної сторони $AM$ до сторони $AB$:
  $\frac{AM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB}{AB}=\frac{1}{2}$
  Водночас сторона $AD$ є спільною нижньою основою:
  $\frac{AD}{AD}=1$
  Оскільки $\frac{1}{2}\ne 1$, трапеція $AMND$ також не подібна трапеції $ABCD$.

Відповідь:

1) Ні, не подібні.

2) Ні, жодна із цих трапецій не подібна даній.