Завдання № 57. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Основи трапеції дорівнюють $25 см$ і $4 см$ , а бічні сторони — $13 см$ і $20 см$ . Знайдіть висоту трапеції.

Покроковий розв’язок:

Креслення до завдання

Нехай дано трапецію $A B C D$ , у якій $B C ∥ A D$ , $B C = 4 см$ , $A D = 25 см$ , $A B = 13 см$ , $C D = 20 см$ . Необхідно знайти висоту $B M$ .

1. Додаткова побудова та властивості утворених фігур
Через вершину $B$ проведемо пряму, паралельну бічній стороні $C D$ , яка перетинає основу $A D$ у точці $K$ ( $B K ∥ C D$ ).

Оскільки $B C ∥ K D$ (як основи трапеції) та $B K ∥ C D$ (за побудовою), чотирикутник $B C D K$ є паралелограмом за означенням.
За властивістю протилежних сторін паралелограма:
$B K = C D = 20 см$
$K D = B C = 4 см$

2. Знаходження сторони $A K$ трикутника $A B K$
Точка $K$ належить відрізку $A D$ , тому:
$A K = A D - K D = 25 - 4 = 21 см$

Розглянемо $△ A B K$ , сторони якого дорівнюють $A B = 13 см$ , $B K = 20 см$ , $A K = 21 см$ .

3. Обчислення площі трикутника $A B K$ за формулою Герона
Знайдемо півпериметр $p$ трикутника $A B K$ :
$p = \frac{A B + B K + A K}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 см$

За формулою Герона площа трикутника дорівнює:
$S_{A B K} = p (p - A B) (p - B K) (p - A K)$

Підставимо числові значення:

S_{A B K} = 27 \cdot (27 - 13) \cdot (27 - 20) \cdot (27 - 21) = 27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6 = (9 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) = 9 \cdot 3^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126 см^{2}

4. Знаходження висоти трапеції
Відрізок $B M$ є висотою трикутника $A B K$ , проведеною до сторони $A K$ , а також висотою трапеції $A B C D$ .

З формули площі трикутника $S_{A B K} = \frac{1}{2} \cdot A K \cdot B M$ виразимо висоту $B M$ :
$B M = \frac{2 \cdot S _{A B K}}{A K} = \frac{2 \cdot 126}{21} = 2 \cdot 6 = 12 см$

Відповідь: $12 см$ .

Завдання № 57. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку