Завдання № 56. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) проведено висоту $CD$. Радіуси кіл, вписаних у трикутники $ACD$ і $BCD$, дорівнюють $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник $ABC$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення подібності трикутників

Розглянемо прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) з висотою $CD\perp AB$.

Висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває вихідний трикутник на два менших прямокутних трикутники, подібних між собою і подібних до вихідного трикутника:

• У прямокутних трикутниках $ACD$ і $ABC$ кут $\angle A$ — спільний, тому $△ACD\sim △ABC$ (за двома гострими кутами).
• У прямокутних трикутниках $BCD$ і $ABC$ кут $\angle B$ — спільний, тому $△BCD\sim △ABC$ (за двома гострими кутами).

2. Використання властивості відношення площ подібних фігур

Нехай:

• $r_1=3\text{ см}$ — радіус кола, вписаного в $△ACD$;
• $r_2=4\text{ см}$ — радіус кола, вписаного в $△BCD$;
• $r$ — радіус кола, вписаного в $△ABC$;
• $S_{ACD}$, $S_{BCD}$ та $S_{ABC}$ — площі відповідних трикутників.

Оскільки радіуси вписаних кіл є відповідними лінійними елементами подібних трикутників, коефіцієнти подібності дорівнюють:
$k_1=\frac{r_1}{r}=\frac{3}{r},k_2=\frac{r_2}{r}=\frac{4}{r}$

За теоремою про площі подібних многокутників, відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подібності:
$\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=k_1^2={\left(\frac{3}{r}\right)}^2=\frac{9}{r^2}$
$\frac{S_{BCD}}{S_{ABC}}=k_2^2={\left(\frac{4}{r}\right)}^2=\frac{16}{r^2}$

3. Знаходження невідомого радіуса

Висота $CD$ розбиває трикутник $ABC$ на два трикутники $ACD$ і $BCD$, що не перекриваються. За аксіомою адитивності площ:
$S_{ACD}+S_{BCD}=S_{ABC}$

Додамо почленно отримані раніше відношення площ:
$\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BCD}}{S_{ABC}}=\frac{9}{r^2}+\frac{16}{r^2}$
$\frac{S_{ACD}+S_{BCD}}{S_{ABC}}=\frac{25}{r^2}$

Оскільки $S_{ACD}+S_{BCD}=S_{ABC}$, ліва частина рівності дорівнює $1$:
$1=\frac{25}{r^2}$
$r^2=25$

Враховуючи, що радіус є додатною геометричною величиною ($r>0$):
$r=\sqrt{25}=5\text{ см}$

Відповідь: $5\text{ см}$.