Завдання № 56. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відношення об’єму кулі радіуса $r$ до об’єму правильної шестикутної призми, кожне ребро якої дорівнює $r$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення об’єму кулі

Об’єм кулі радіуса $r$ обчислюється за стандартною геометричною формулою:
$V_{\text{кулі}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

2. Обчислення площі основи правильної шестикутної призми

Основою правильної шестикутної призми є правильний шестикутник зі стороною $a=r$.
Правильний шестикутник складається з $6$ рівних правильних (рівносторонніх) трикутників зі стороною $r$.

Площа одного правильного трикутника зі стороною $r$:
$S_{△}=\frac{r^2\sqrt{3}}{4}$

Тоді площа основи призми дорівнює:
$S_{\text{осн}}=6\cdot S_{△}=6\cdot \frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^2$

3. Обчислення об’єму призми

Оскільки за умовою кожне ребро призми дорівнює $r$, то її висота також дорівнює довжині бічного ребра:
$h=r$

Об’єм призми обчислюється як добуток площі основи на висоту:
$V_{\text{призми}}=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^2\cdot r=\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^3$

4. Знаходження відношення об’ємів

Знайдемо відношення об’єму кулі до об’єму призми:
$\frac{V_{\text{кулі}}}{V_{\text{призми}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^3}=\frac{\frac{4}{3}\pi }{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{8\pi }{9\sqrt{3}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$:
$\frac{8\pi }{9\sqrt{3}}=\frac{8\pi \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{8\pi \sqrt{3}}{9\cdot 3}=\frac{8\pi \sqrt{3}}{27}$

Відповідь:
$\frac{8\pi \sqrt{3}}{27}$