Завдання № 56. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що перетворення подібності переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація та побудова
Нехай дано дві довільні паралельні прямі $a$ та $b$ ($a\parallel b$).
При деякому перетворенні подібності пряма $a$ переходить у пряму $a^{\prime }$, а пряма $b$ — у пряму $b^{\prime }$.

Проведемо довільну січну пряму $c$, яка перетинає прямі $a$ і $b$.
Оскільки перетворення подібності переводить будь-яку пряму в пряму, то січна $c$ перейде в деяку пряму $c^{\prime }$, яка обов’язково перетинатиме прямі $a^{\prime }$ і $b^{\prime }$.

2. Властивість кутів при паралельних прямих
За умовою $a\parallel b$. Розглянемо кути $\angle 1$ та $\angle 2$, які є внутрішніми односторонніми кутами при паралельних прямих $a$ і $b$ та січній $c$.
За властивістю паралельних прямих їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:

3. Збереження кутів при перетворенні подібності
Згідно з властивостями перетворення подібності, воно зберігає величини кутів між відповідними прямими та променями.
Тому кути між січною $c^{\prime }$ та прямими $a^{\prime }$ і $b^{\prime }$ дорівнюють відповідним кутам прообразу:

4. Доведення паралельності прямих $a^{\prime }$ та $b^{\prime }$
Знайдемо суму внутрішніх односторонніх кутів $\angle 3$ та $\angle 4$ при прямих $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ та січній $c^{\prime }$:

За ознакою паралельності двох прямих, якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює $180^{\circ }$, то такі прямі паралельні.
Отже:

Таким чином, перетворення подібності завжди переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Відповідь:
Доведено.