Завдання № 56. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Діагоналі паралелограма дорівнюють $40\text{ см}$ і $74\text{ см}$, а одна з його сторін — $51\text{ см}$. Знайдіть площу паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якому довжини діагоналей становлять $AC=74\text{ см}$ та $BD=40\text{ см}$, а сторона $AD=51\text{ см}$. Точку перетину діагоналей позначимо через $O$.

1. Властивість діагоналей паралелограма

За властивістю паралелограма, його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл:
$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{74}{2}=37\text{ см}$
$BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{40}{2}=20\text{ см}$

Розглянемо трикутник $AOD$, у якого відомі всі три сторони: $AO=37\text{ см}$, $OD=20\text{ см}$ та $AD=51\text{ см}$.

2. Обчислення площі трикутника $AOD$ за формулою Герона

Знайдемо півпериметр $p$ трикутника $AOD$:
$p=\frac{AO+OD+AD}{2}=\frac{37+20+51}{2}=\frac{108}{2}=54\text{ см}$

Застосуємо формулу Герона:
$S_{△AOD}=\sqrt{p\cdot (p-AO)\cdot (p-OD)\cdot (p-AD)}$

Обчислимо різниці півпериметра та сторін:
$p-AO=54-37=17\text{ см}$
$p-OD=54-20=34\text{ см}$
$p-AD=54-51=3\text{ см}$

Підставимо отримані значення у формулу:

3. Знаходження площі всього паралелограма

Діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликі трикутники (трикутники з рівними площами).

Справді, висота трикутника $ACD$, проведена з вершини $C$ до основи $AD$, удвічі більша за висоту трикутника $AOD$, проведену з точки $O$ до тієї ж основи (оскільки $O$ — середина $AC$). Отже:
$S_{△ACD}=2\cdot S_{△AOD}$

Оскільки діагональ $AC$ ділить паралелограм на два рівні трикутники ($S_{ABCD}=2\cdot S_{△ACD}$), маємо:
$S_{ABCD}=4\cdot S_{△AOD}$

Обчислимо шукану площу:
$S_{ABCD}=4\cdot 306=1224{\text{ см}}^2$

Відповідь: $1224{\text{ см}}^2$.