Завдання № 55. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано пряму $a$, коло та точку $O$. Побудуйте точки, симетричні одна одній відносно центра $O$, одна з яких належить даній прямій, а інша — даному колу.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз задачі
Нехай $X$ — шукана точка, яка належить прямій $a$ ($X\in a$), а $X^{\prime }$ — симетрична їй точка відносно центра $O$, яка належить даному колу $\omega$ ($X^{\prime }\in \omega$).
За означенням центральної симетрії відносно точки $O$, якщо точка $X$ лежить на прямій $a$, то симетрична їй точка $X^{\prime }$ повинна належати прямій $a^{\prime }$, яка є образом прямої $a$ при симетрії з центром $O$.
Оскільки точка $X^{\prime }$ одночасно належить колу $\omega$ та прямій $a^{\prime }$, вона є точкою їх перетину:
$X^{\prime }\in a^{\prime }\cap \omega$

2. План побудови

1) На прямій $a$ вибираємо дві довільні точки та будуємо точки, симетричні їм відносно центра $O$.

2) Через побудовані точки проводимо пряму $a^{\prime }$ (пряма $a^{\prime }$ паралельна прямій $a$ і є її образом при центральній симетрії відносно точки $O$).

3) Знаходимо спільні точки прямої $a^{\prime }$ та даного кола $\omega$. Позначимо їх як $K^{\prime }$ і $P^{\prime }$.

4) Через знайдені точки $K^{\prime }$ і $P^{\prime }$ та центр симетрії $O$ проводимо прямі до перетину з прямою $a$. Отримуємо відповідні симетричні точки $K$ і $P$ ($K\in a$, $P\in a$).
Пари точок $(K;K^{\prime })$ та $(P;P^{\prime })$ є шуканими.

3. Дослідження кількості розв’язків
Кількість розв’язків задачі визначається кількістю спільних точок прямої $a^{\prime }$ і кола $\omega$:

• якщо пряма $a^{\prime }$ перетинає коло у двох точках, задача має $2$ розв’язки (пари точок $(K;K^{\prime })$ та $(P;P^{\prime })$);
• якщо пряма $a^{\prime }$ дотикається до кола, задача має $1$ розв’язок;
• якщо пряма $a^{\prime }$ не має спільних точок із колом, задача не має розв’язків.

4. Графічна ілюстрація побудови

Відповідь:
Пари точок $(K;K^{\prime })$ та $(P;P^{\prime })$, де точки $K$ і $P$ належать прямій $a$, а точки $K^{\prime }$ і $P^{\prime }$ — даному колу. За вказаного взаємного розміщення задача має $2$ розв’язки.