Завдання № 55. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Діаметр Меркурія становить $0,39$ від діаметра Землі. Знайдіть:

1) який відсоток від площі поверхні Землі становить площа поверхні Меркурія;

2) який відсоток об’єму Землі становить об’єм Меркурія.

Покроковий розв’язок:

Вважатимемо небесні тіла (Землю та Меркурій) кулями, оскільки їхня форма близька до сферичної.

Нехай $d_{\text{З}}$ — діаметр Землі, $d_{\text{М}}$ — діаметр Меркурія, а $r_{\text{З}}$ і $r_{\text{М}}$ — їхні відповідні радіуси.

За умовою задачі:
$d_{\text{М}}=0,39\cdot d_{\text{З}}$

Оскільки радіус кулі дорівнює половині її діаметра ($r=\frac{d}{2}$), відношення радіусів дорівнює відношенню діаметрів (коефіцієнту подібності):
$\frac{r_{\text{М}}}{r_{\text{З}}}=\frac{d_{\text{М}}}{d_{\text{З}}}=0,39$

1. Знаходження відсотка від площі поверхні Землі, який становить площа поверхні Меркурія

Площа поверхні кулі радіуса $r$ обчислюється за формулою:
$S=4\cdot \pi \cdot r^2$

Знайдемо відношення площі поверхні Меркурія $S_{\text{М}}$ до площі поверхні Землі $S_{\text{З}}$:
$\frac{S_{\text{М}}}{S_{\text{З}}}=\frac{4\cdot \pi \cdot r_{\text{М}}^2}{4\cdot \pi \cdot r_{\text{З}}^2}={\left(\frac{r_{\text{М}}}{r_{\text{З}}}\right)}^2$

Підставимо відоме відношення радіусів:
$\frac{S_{\text{М}}}{S_{\text{З}}}=0,39^2=0,1521$

Щоб виразити це відношення у відсотках, помножимо отримане значення на $100\%$:
$0,1521\cdot 100\%=15,21\%$

2. Знаходження відсотка об’єму Землі, який становить об’єм Меркурія

Об’єм кулі радіуса $r$ обчислюється за формулою:
$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$

Знайдемо відношення об’єму Меркурія $V_{\text{М}}$ до об’єму Землі $V_{\text{З}}$:
$\frac{V_{\text{М}}}{V_{\text{З}}}=\frac{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_{\text{М}}^3}{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_{\text{З}}^3}={\left(\frac{r_{\text{М}}}{r_{\text{З}}}\right)}^3$

Підставимо відоме відношення радіусів:
$\frac{V_{\text{М}}}{V_{\text{З}}}=0,39^3=0,059319$

Переведемо отримане значення у відсотки:
$0,059319\cdot 100\%=5,9319\%$

Відповідь:

1) $15,21\%$;

2) $5,9319\%$.