Завдання № 55. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Рамка для фотографій має прямокутну форму (не є квадратом). Чи подібні зовнішній і внутрішній прямокутники цієї рамки, якщо ширина рамки скрізь однакова?

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних

Нехай довжина та ширина зовнішнього прямокутника дорівнюють $a$ і $b$ відповідно. Оскільки рамка не є квадратом, то $a\ne b$.

Ширина самої рамки скрізь однакова і дорівнює деякому числу $x>0$.

Тоді внутрішній прямокутник зменшений з кожного боку на величину $x$, отже, його виміри становлять:
$a-2\cdot x\text{та}b-2\cdot x$

2. Умова подібності двох прямокутників

Два прямокутники подібні тоді й тільки тоді, коли відношення їхніх відповідних сторін є рівними:
$\frac{a}{a-2\cdot x}=\frac{b}{b-2\cdot x}$

3. Перевірка рівності відношень

Застосуємо основну властивість пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$a\cdot (b-2\cdot x)=b\cdot (a-2\cdot x)$

Розкриємо дужки:
$a\cdot b-2\cdot a\cdot x=a\cdot b-2\cdot b\cdot x$

Віднімемо $a\cdot b$ від обох частин рівності:
$-2\cdot a\cdot x=-2\cdot b\cdot x$

Поділимо обидві частини рівняння на $-2$:
$a\cdot x=b\cdot x$

Перенесемо всі доданки в ліву частину та винесемо спільний множник $x$ за дужки:
$x\cdot (a-b)=0$

Добуток дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
$x=0\text{або}a-b=0⟺a=b$

4. Висновок

За умовою задачі:

1) Рамка існує реально, тобто її ширина $x>0$.

2) Рамка не є квадратною, тобто $a\ne b$, отже, $a-b\ne 0$.

Таким чином, рівність $\frac{a}{a-2\cdot x}=\frac{b}{b-2\cdot x}$ ніколи не справджується за даних умов. Отже, відповідні сторони не є пропорційними.

Відповідь:
Ні, зовнішній і внутрішній прямокутники не подібні.