Завдання № 55. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутник зі сторонами $12\text{ см}$, $50\text{ см}$ і $58\text{ см}$ вписано коло, а центр кола сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трьох отриманих трикутників.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано трикутник $ABC$, сторони якого дорівнюють $BC=12\text{ см}$, $AB=50\text{ см}$, $AC=58\text{ см}$, а точка $O$ — центр вписаного в нього кола. Центр $O$ сполучено з вершинами $A$, $B$ і $C$, утворюючи три трикутники: $△AOB$, $△AOC$ та $△BOC$.

1. Обчислення площі трикутника $ABC$ за формулою Герона

Знайдемо півпериметр трикутника $△ABC$:
$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{50+12+58}{2}=\frac{120}{2}=60\text{ см}$

За формулою Герона:
$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$
$S=\sqrt{60\cdot (60-50)\cdot (60-12)\cdot (60-58)}=\sqrt{60\cdot 10\cdot 48\cdot 2}$

Розкладемо підкореневий вираз на зручні множники:
$S=\sqrt{(6\cdot 10)\cdot 10\cdot (6\cdot 8)\cdot 2}=\sqrt{10^2\cdot 6^2\cdot 16}=10\cdot 6\cdot 4=240{\text{ см}}^2$

2. Знаходження радіуса вписаного кола

Радіус кола, вписаного в трикутник, виражається через його площу та півпериметр формулою $S=p\cdot r$:
$r=\frac{S}{p}=\frac{240}{60}=4\text{ см}$

3. Обчислення площ трикутників $△AOB$, $△AOC$ та $△BOC$

Центр вписаного кола $O$ рівновіддалений від усіх трьох сторін трикутника, тому радіуси, проведені в точки дотику кола зі сторонами, є висотами трикутників $△AOB$, $△AOC$ і $△BOC$, опущеними з вершини $O$. Довжина кожної з цих висот дорівнює $r=4\text{ см}$.

Обчислимо площу кожного з трикутників:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot r=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 4=100{\text{ см}}^2$
$S_{△AOC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot r=\frac{1}{2}\cdot 58\cdot 4=116{\text{ см}}^2$
$S_{△BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot r=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=24{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$100{\text{ см}}^2$, $116{\text{ см}}^2$, $24{\text{ см}}^2$.