Завдання № 54. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторона правильного трикутника дорівнює $a$. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює $\frac{a}{3}$. Знайдіть площу тієї частини трикутника, що лежить поза колом.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз взаємного розміщення трикутника та кола

Нехай точка $O$ — центр правильного трикутника $ABC$ зі стороною $a$.

Знайдемо відстань від центра $O$ до сторін трикутника (радіус вписаного кола $r_{\text{вп}}$) та до його вершин (радіус описаного кола $R$):
$r_{\text{вп}}=\frac{a\sqrt{3}}{6},R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Порівняємо радіус даного кола $r=\frac{a}{3}$ із цими величинами:

• Оскільки $\frac{a\sqrt{3}}{6}\approx 0,2887a$, а $r=\frac{a}{3}\approx 0,3333a$, то $r_{\text{вп}}<r$. Отже, коло перетинає кожну зі сторін трикутника у двох точках.
• Оскільки $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\approx 0,5774a$, то $r<R$. Отже, всі три вершини трикутника лежать зовні кола.

Частина трикутника, що лежить поза колом, складається з трьох рівних фігур біля вершин $A$, $B$ і $C$.

2. Дослідження чотирикутника $ODBF$

Розглянемо вершину $B$. Нехай точки $D$ і $F$ — найближчі до точки $B$ точки перетину кола зі сторонами $AB$ і $BC$ відповідно. За умовою, відрізки $OD$ та $OF$ є радіусами кола, тобто:
$OD=OF=r=\frac{a}{3}$

Нехай точка $M$ — середина сторони $AB$. Тоді відрізок $OM\perp AB$, а його довжина дорівнює $OM=r_{\text{вп}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

У прямокутному трикутнику $△OMD$ за теоремою Піфагора:
$MD=\sqrt{O{D}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{9}-\frac{3a^2}{36}}=\sqrt{\frac{a^2}{36}}=\frac{a}{6}$

Оскільки $M$ — середина сторони $AB$, то $MB=\frac{a}{2}$. Знайдемо довжину відрізка $DB$:
$DB=MB-MD=\frac{a}{2}-\frac{a}{6}=\frac{a}{3}$

Аналогічно, розглядаючи сторону $BC$, отримуємо:
$BF=\frac{a}{3}$

У чотирикутнику $ODBF$ усі сторони рівні між собою:
$OD=DB=BF=FO=\frac{a}{3}$
Отже, за означенням, чотирикутник $ODBF$ є ромбом.

Кут правильного трикутника при вершині $B$ дорівнює $\angle B=60^{\circ }$. Оскільки у ромба протилежні кути рівні, центральний кут:
$\angle DOF=\angle B=60^{\circ }$

3. Обчислення площі частини біля вершини $B$

Площу ромба $ODBF$ обчислимо за формулою через дві сторони та синус кута між ними:
$S_{ODBF}=OD\cdot OF\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a}{3}\cdot \frac{a}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{18}$

Площа кругового сектора $ODF$ із центральним кутом $60^{\circ }$:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi r^2\cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{\pi \cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2}{6}=\frac{\pi a^2}{54}$

Площа $S_1$ частини трикутника біля вершини $B$, що лежить поза колом, дорівнює різниці площ ромба та сектора:
$S_1=S_{ODBF}-S_{\text{сект}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{18}-\frac{\pi a^2}{54}=\frac{3a^2\sqrt{3}-\pi a^2}{54}=\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{54}$

4. Обчислення повної шуканої площі

Шукана фігура складається з трьох рівних частин біля трьох вершин трикутника:
$S=3\cdot S_1=3\cdot \frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{54}=\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{18}$

Відповідь:
$\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{18}$