Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Вісім мідних куль, радіус кожної з яких дорівнює $3\text{ см}$, переплавлено в одну. Знайдіть:

1) радіус утвореної кулі;

2) площу поверхні утвореної кулі;

3) масу кулі (густина міді $\rho =8,8{\text{ г/см}}^3$).

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса утвореної кулі
Об’єм кулі радіуса $r$ обчислюється за формулою:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Знайдемо об’єм однієї початкової кулі радіуса $r=3\text{ см}$:
$V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi {\text{ см}}^3$

Оскільки переплавили $8$ таких куль, сумарний об’єм утвореної великої кулі дорівнює сумі об’ємів початкових куль:
$V=8\cdot V_1=8\cdot 36\pi =288\pi {\text{ см}}^3$

Нехай $R$ — радіус утвореної кулі. За формулою об’єму маємо:
$\frac{4}{3}\pi R^3=288\pi$

Поділимо обидві частини рівняння на $\pi$ та виразимо $R^3$:
$R^3=288\cdot \frac{3}{4}=216$

Звідси знаходимо радіус:
$R=\sqrt[3]{216}=6\text{ см}$

2. Знаходження площі поверхні утвореної кулі
Площа сфери (поверхні кулі) обчислюється за формулою:
$S=4\pi R^2$

Підставимо знайдений радіус $R=6\text{ см}$:
$S=4\pi \cdot 6^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{ см}}^2$

3. Знаходження маси утвореної кулі
Маса тіла визначається за формулою зв’язку маси, густини та об’єму:
$m=\rho \cdot V$

Підставимо значення густини міді $\rho =8,8{\text{ г/см}}^3$ та об’єму $V=288\pi {\text{ см}}^3$:
$m=8,8\cdot 288\pi =2534,4\pi \text{ г}$

Обчислимо наближене числове значення маси, використовуючи значення $\pi \approx 3,1416$:
$m\approx 2534,4\cdot 3,1416\approx 7962\text{ г}$

Відповідь:

1) $6\text{ см}$;

2) $144\pi {\text{ см}}^2$;

3) $2534,4\pi \text{ г}\approx 7962\text{ г}$.