Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
В одному з ромбів один з кутів утричі більший за інший, а у другому ромбі — один з кутів на $80^{\circ }$ більший за інший. Чи подібні ці ромби?

Покроковий розв’язок:

1. Властивість кутів та ознака подібності ромбів
Ромб є паралелограмом, у якого всі сторони рівні. Оскільки протилежні сторони паралельні, сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути).
Оскільки всі чотири сторони будь-якого ромба пропорційні чотирьом сторонам іншого ромба (відношення відповідних сторін постійне), два ромби подібні тоді й лише тоді, коли їхні відповідні кути рівні.

2. Знаходження кутів першого ромба
Нехай гострий кут першого ромба дорівнює $\alpha$. Тоді його тупий кут за умовою становить $3\alpha$.
Складемо рівняння:
$\alpha +3\alpha =180^{\circ }$
$4\alpha =180^{\circ }$
$\alpha =\frac{180^{\circ }}{4}=45^{\circ }$
Тупий кут першого ромба:
$3\alpha =3\cdot 45^{\circ }=135^{\circ }$
Отже, кути першого ромба дорівнюють $45^{\circ }$, $135^{\circ }$, $45^{\circ }$ і $135^{\circ }$.

3. Знаходження кутів другого ромба
Нехай гострий кут другого ромба дорівнює $\beta$. Тоді його тупий кут дорівнює $\beta +80^{\circ }$.
Складемо рівняння:
$\beta +(\beta +80^{\circ })=180^{\circ }$
$2\beta +80^{\circ }=180^{\circ }$
$2\beta =180^{\circ }-80^{\circ }$
$2\beta =100^{\circ }$
$\beta =\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }$
Тупий кут другого ромба:
$\beta +80^{\circ }=50^{\circ }+80^{\circ }=130^{\circ }$
Отже, кути другого ромба дорівнюють $50^{\circ }$, $130^{\circ }$, $50^{\circ }$ і $130^{\circ }$.

4. Висновок
Порівняємо кути двох ромбів:
$45^{\circ }\ne 50^{\circ },135^{\circ }\ne 130^{\circ }$
Оскільки відповідні кути ромбів не рівні між собою, дані ромби не є подібними.

Відповідь:
Ні, ці ромби не подібні.