Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Три кола, радіуси яких дорівнюють $6 см$ , $7 см$ і $8 см$ , попарно дотикаються одне до одного зовні. Знайдіть площу трикутника, вершинами якого є центри цих кіл.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення довжин сторін трикутника
Нехай точки $O_{1}$ , $O_{2}$ та $O_{3}$ — центри трьох даних кіл з радіусами $r_{1} = 7 см$ , $r_{2} = 8 см$ та $r_{3} = 6 см$ відповідно.

За властивістю кіл, що мають зовнішній дотик, лінія центрів проходить через їхню спільну точку дотику, а відстань між центрами двох кіл дорівнює сумі їхніх радіусів.

Отже, сторони трикутника $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ дорівнюють:
$O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2} = 7 + 8 = 15 см$
$O_{2} O_{3} = r_{2} + r_{3} = 8 + 6 = 14 см$
$O_{1} O_{3} = r_{1} + r_{3} = 7 + 6 = 13 см$

2. Обчислення площі за формулою Герона
Оскільки відомі довжини всіх трьох сторін трикутника, використаємо формулу Герона:
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
де $p$ — півпериметр трикутника.

Знайдемо півпериметр:
$p = \frac{15 + 14 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21 см$

Обчислимо різниці півпериметра та кожної зі сторін:
$p - a = 21 - 15 = 6 см$
$p - b = 21 - 14 = 7 см$
$p - c = 21 - 13 = 8 см$

Підставимо отримані значення у формулу Герона:
$S = 21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$

Для зручності обчислення розкладемо підкореневий вираз на прості множники:
$S = (7 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 4) = 7^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2^{2} \cdot 4 = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 84 см^{2}$

Відповідь:
$84 см^{2}$

Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку