Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть косинус кута між векторами $\vec{a}=2\vec{p}+\vec{q}$ та $\vec{b}=\vec{q}-2\vec{p}$, якщо $|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$ і $\vec{p}\perp \vec{q}$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості вихідних векторів
За умовою вектори $\vec{p}$ і $\vec{q}$ є одиничними та взаємно перпендикулярними:

• Оскільки $|\vec{p}|=1$ та $|\vec{q}|=1$, то скалярні квадрати векторів дорівнюють квадратам їхніх модулів: $${\vec{p}}^2=|\vec{p}{|}^2=1^2=1,{\vec{q}}^2=|\vec{q}{|}^2=1^2=1$$
• Оскільки $\vec{p}\perp \vec{q}$, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю: $$\vec{p}\cdot \vec{q}=0$$

2. Обчислення скалярного добутку векторів $\vec{a}$ та $\vec{b}$
Застосуємо формулу скороченого множення (різницю квадратів):

Підставимо числові значення:

3. Знаходження довжин (модулів) векторів
Модуль вектора визначається через корінь із його скалярного квадрата:

• Для вектора $\vec{a}$:

  $$\begin{array}{rl}|\vec{a}{|}^2& =(2\vec{p}+\vec{q}{)}^2\\ & =4{\vec{p}}^2+4(\vec{p}\cdot \vec{q})+{\vec{q}}^2\\ & =4\cdot 1+4\cdot 0+1=5\end{array}$$

  Звідси $|\vec{a}|=\sqrt{5}$.

• Для вектора $\vec{b}$:

  $$\begin{array}{rl}|\vec{b}{|}^2& =(\vec{q}-2\vec{p}{)}^2\\ & ={\vec{q}}^2-4(\vec{q}\cdot \vec{p})+4{\vec{p}}^2\\ & =1-4\cdot 0+4\cdot 1=5\end{array}$$

  Звідси $|\vec{b}|=\sqrt{5}$.

4. Обчислення косинуса кута між векторами
За означенням скалярного добутку:

Підставимо отримані значення:

Відповідь: $-\frac{3}{5}$