Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи немає спільних точок):

1) $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y = 0$ і $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ ;

2) $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ і $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 1 = 0$ .

Покроковий розв’язок:

Взаємне розташування двох кіл із центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ та радіусами $R_{1}$ , $R_{2}$ залежить від відстані $d = O_{1} O_{2}$ між їхніми центрами:

якщо $d > R_{1} + R_{2}$ , кола не мають спільних точок (розташовані одне поза одним);
якщо $d = R_{1} + R_{2}$ , кола дотикаються зовнішнім способом (мають одну спільну точку);
якщо $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ , кола перетинаються (мають дві спільні точки);
якщо $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ ( $R_{1} \neq = R_{2}$ ), кола дотикаються внутрішнім способом;
якщо $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , одне коло лежить усередині іншого (спільних точок немає).

Рівняння кола з центром у точці $O (a; b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

1. Дослідження першої пари кіл

Зведемо рівняння першого кола до канонічного вигляду шляхом виділення повних квадратів:
$x^{2} + 8 x + y^{2} - 6 y = 0$
$(x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 16) + (y^{2} - 2 \cdot 3 \cdot y + 9) = 16 + 9$
$(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$
Отже, центр першого кола — точка $O_{1} (- 4; 3)$ , а радіус $R_{1} = 25 = 5$ .

Зведемо рівняння другого кола до канонічного вигляду:
$x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y - 3 = 0$
$(x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9) + (y^{2} + 2 \cdot 2 \cdot y + 4) = 3 + 9 + 4$
$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$
Отже, центр другого кола — точка $O_{2} (3; - 2)$ , а радіус $R_{2} = 16 = 4$ .

Знайдемо відстань між центрами кіл за формулою відстані між двома точками:
$d = O_{1} O_{2} = (3 - (- 4))^{2} + (- 2 - 3)^{2} = 7^{2} + (- 5)^{2} = 49 + 25 = 74$

Обчислимо суму та різницю радіусів:
$R_{1} + R_{2} = 5 + 4 = 9 = 81$
$∣ R_{1} - R_{2} ∣ = ∣5 - 4∣ = 1 = 1$

Порівняємо отримані значення:
$1 < 74 < 81 ⟹ ∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$

Оскільки відстань між центрами строго більша за різницю радіусів і менша за їхню суму, кола перетинаються у двох точках.

2. Дослідження другої пари кіл

Зведемо рівняння першого кола до канонічного вигляду:
$x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y + 1 = 0$
$(x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1) + (y^{2} - 2 \cdot 2 \cdot y + 4) - 4 = 0$
$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$
Отже, центр першого кола — точка $O_{1} (- 1; 2)$ , а радіус $R_{1} = 4 = 2$ .

Зведемо рівняння другого кола до канонічного вигляду:
$x^{2} - 6 x + y^{2} + 2 y + 1 = 0$
$(x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9) + (y^{2} + 2 \cdot 1 \cdot y + 1) - 9 = 0$
$(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$
Отже, центр другого кола — точка $O_{2} (3; - 1)$ , а радіус $R_{2} = 9 = 3$ .

Знайдемо відстань між центрами кіл:
$d = O_{1} O_{2} = (3 - (- 1))^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$

Обчислимо суму радіусів:
$R_{1} + R_{2} = 2 + 3 = 5$

Порівняємо відстань між центрами та суму радіусів:
$d = R_{1} + R_{2} = 5$

Оскільки відстань між центрами дорівнює сумі радіусів, кола дотикаються зовнішнім способом (мають одну спільну точку).

Відповідь:

1) Кола перетинаються;

2) Кола дотикаються (зовнішній дотик).

Завдання № 54. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку