Завдання № 54. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Нехай $a$ і $b$ — катети прямокутного трикутника, $c$ — його гіпотенуза. Знайдіть:

1) $c$ , якщо $a = 12 см$ , $b = 5 см$ ;

2) $a$ , якщо $c = 17 дм$ , $b = 15 дм$ ;

3) $b$ , якщо $a = 35 см$ , $c = 37 см$ .

Покроковий розв’язок:

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин його катетів:
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Звідси для знаходження невідомої сторони отримуємо відповідні формули:

1) Знаходження гіпотенузи $c$ за відомими катетами $a = 12 см$ і $b = 5 см$ :

c = a^{2} + b^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = = 144 + 25 = 169 = 13 (см) .

2) Знаходження катета $a$ за відомою гіпотенузою $c = 17 дм$ і катетом $b = 15 дм$ :

Застосуємо формулу різниці квадратів для спрощення обчислень під коренем:

a = c^{2} - b^{2} = 1 7^{2} - 1 5^{2} = = (17 - 15) \cdot (17 + 15) = = 2 \cdot 32 = 64 = 8 (дм) .

3) Знаходження катета $b$ за відомою гіпотенузою $c = 37 см$ і катетом $a = 35 см$ :

Аналогічно скористаємося формулою різниці квадратів:

b = c^{2} - a^{2} = 3 7^{2} - 3 5^{2} = = (37 - 35) \cdot (37 + 35) = = 2 \cdot 72 = 144 = 12 (см) .

Відповідь:

1) $13 см$ ;

2) $8 дм$ ;

3) $12 см$ .