Завдання № 53. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Навколо рівнобедреного трикутника з основою $6 см$ описано круг, довжина кола якого дорівнює $10 π см$ . Знайдіть відношення площі круга до площі трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса кола та площі круга

Довжина кола обчислюється за формулою:
$C = 2 π R$

За умовою $C = 10 π см$ , тому:
$2 π R = 10 π ⟹ R = 5 см$

Площа круга дорівнює:
$S_{кр} = π R^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π см^{2}$

2. Геометричні властивості трикутника та центра кола

Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ A B C$ з основою $A C = 6 см$ .

Центр $O$ описаного кола є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Оскільки трикутник рівнобедрений ( $A B = B C$ ), висота $B K$ , проведена до основи $A C$ , є також медіаною та серединним перпендикуляром. Отже, центр кола $O$ лежить на прямій $B K$ , а точка $K$ є серединою $A C$ :
$A K = K C = \frac{A C}{2} = \frac{6}{2} = 3 см$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ O K C$ ( $∠ O K C = 9 0^{\circ}$ ), у якому гіпотенуза $O C = R = 5 см$ , а катет $K C = 3 см$ . За теоремою Піфагора:
$O K = O C^{2} - K C^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4 см$

Оскільки вершина $B$ лежить на колі, а пряма $B K$ проходить через центр $O$ , можливі два випадки взаємного розташування точки $B$ та основи $A C$ .

3. Випадок 1: Трикутник $△ A B C$ — гострокутний

Центр кола $O$ лежить усередині трикутника $△ A B C$ . Точки $B$ і $K$ лежать по різні боки від центра $O$ .

Тоді висота $B K$ дорівнює сумі радіуса кола та відрізка $O K$ :
$B K = B O + O K = R + O K = 5 + 4 = 9 см$

Площа трикутника:
$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B K = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27 см^{2}$

Шукане відношення площ:
$\frac{S _{кр}}{S _{△ A B C}} = \frac{25 π}{27}$

4. Випадок 2: Трикутник $△ A B C$ — тупокутний

Центр кола $O$ лежить поза межами трикутника $△ A B C$ . Точки $B$ і $K$ лежать по один бік від центра $O$ .

У цьому випадку висота $B K$ дорівнює різниці радіуса кола та відрізка $O K$ :
$B K = B O - O K = R - O K = 5 - 4 = 1 см$

Площа трикутника:
$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B K = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3 см^{2}$

Шукане відношення площ:
$\frac{S _{кр}}{S _{△ A B C}} = \frac{25 π}{3}$

Відповідь:
$\frac{25 π}{27}$ або $\frac{25 π}{3}$ .

Завдання № 53. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку