Завдання № 53. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Поверхні двох куль відносяться як $1:4$. Як відносяться:

1) радіуси куль;

2) об’єми куль?

Покроковий розв’язок:

Нехай радіус першої кулі дорівнює $R_1$, а радіус другої кулі — $R_2$. Відповідно, площі їхніх поверхонь позначимо як $S_1$ та $S_2$, а їхні об’єми — як $V_1$ та $V_2$.

1. Знаходження відношення радіусів куль

Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою:
$S=4\cdot \pi \cdot R^2$

Складемо відношення площ поверхонь двох заданих куль:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\cdot \pi \cdot R_1^2}{4\cdot \pi \cdot R_2^2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2$

За умовою задачі $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{4}$. Отримуємо рівняння:
${\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Оскільки радіуси куль є додатними величинами, добудемо квадратний корінь:
$\frac{R_1}{R_2}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

Отже, радіуси куль відносяться як $1:2$.

2. Знаходження відношення об’ємів куль

Об’єм кулі радіуса $R$ обчислюється за формулою:
$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3$

Запишемо відношення об’ємів двох куль:
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R_1^3}{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R_2^3}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^3$

Підставимо раніше знайдене відношення радіусів $\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{2}$:
$\frac{V_1}{V_2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

Отже, об’єми куль відносяться як $1:8$.

Відповідь:

1) $1:2$;

2) $1:8$.