Завдання № 53. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи подібні прямокутники, якщо сторони одного з них дорівнюють $4\text{ см}$ і $3\text{ см}$, а сторона другого дорівнює $12\text{ см}$ і його діагональ дорівнює $15\text{ см}$?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження невідомої сторони другого прямокутника

Діагональ прямокутника разом із двома його суміжними сторонами утворює прямокутний трикутник, де діагональ є гіпотенузою, а сторони — катетами.

Нехай сторони другого прямокутника дорівнюють $a_2=12\text{ см}$ і $b_2$, а діагональ $d=15\text{ см}$. За теоремою Піфагора:

$d^2=a_2^2+b_2^2$

Звідси знайдемо невідому сторону $b_2$:

$b_2=\sqrt{d^2-a_2^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\text{ см}$

Отже, сторони другого прямокутника дорівнюють $12\text{ см}$ і $9\text{ см}$.

2. Перевірка умови подібності прямокутників

Два прямокутники є подібними, якщо всі їхні відповідні кути рівні (у будь-якого прямокутника всі кути дорівнюють $90^{\circ }$), а відповідні сторони — пропорційні.

Порівняємо відношення більших і менших сторін обох прямокутників. Сторони першого прямокутника: $a_1=4\text{ см}$, $b_1=3\text{ см}$. Сторони другого прямокутника: $a_2=12\text{ см}$, $b_2=9\text{ см}$.

Знайдемо відношення відповідних сторін:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{4}=3$

$\frac{b_2}{b_1}=\frac{9}{3}=3$

Оскільки відношення відповідних сторін рівні:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=3$

і всі кути прямокутників становлять $90^{\circ }$, ці прямокутники є подібними з коефіцієнтом подібності $k=3$ (або $k=\frac{1}{3}$).

Відповідь:
Так, подібні.