Завдання № 53. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть косинус кута між векторами $a$ і $b$ , якщо $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ та $(a + 2 b) \cdot (4 a + 3 b) = 5$ .

Покроковий розв’язок:

1. Розкриття дужок у скалярному добутку
Використаємо розподільну та переставну властивості скалярного добутку векторів і розкриємо дужки у заданій рівності:
$(a + 2 b) \cdot (4 a + 3 b) = 4 a^{2} + 3 (a \cdot b) + 8 (b \cdot a) + 6 b^{2}$

Оскільки скалярний добуток є комутативним, тобто $b \cdot a = a \cdot b$ , зведемо подібні доданки:
$4 a^{2} + 11 (a \cdot b) + 6 b^{2} = 5$

2. Застосування властивостей скалярного квадрата
Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:
$a^{2} = ∣ a ∣^{2} = 1^{2} = 1$
$b^{2} = ∣ b ∣^{2} = 1^{2} = 1$

Підставимо отримані значення у рівняння:
$4 \cdot 1 + 11 (a \cdot b) + 6 \cdot 1 = 5$
$10 + 11 (a \cdot b) = 5$

3. Знаходження скалярного добутку та косинуса кута
Розв’яжемо лінійне рівняння відносно скалярного добутку $a \cdot b$ :
$11 (a \cdot b) = 5 - 10$
$11 (a \cdot b) = - 5$
$a \cdot b = - \frac{5}{11}$

За означенням скалярного добутку двох векторів:
$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos ∠ (a, b)$

Оскільки $∣ a ∣ = 1$ та $∣ b ∣ = 1$ , маємо:
$cos ∠ (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{- \frac{5}{11}}{1 \cdot 1} = - \frac{5}{11}$

Відповідь: $- \frac{5}{11}$

Завдання № 53. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку