Завдання № 53. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть геометричне місце точок, сума квадратів відстаней від яких до трьох точок $A(0;0)$, $B(1;1)$ і $C(2;2)$ дорівнює $7$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення координат шуканої точки

Нехай $M(x;y)$ — довільна точка, яка належить шуканому геометричному місцю точок. За умовою задачі має виконуватися співвідношення:
$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=7$

2. Застосування формули відстані між двома точками

Квадрат відстані між точками $M(x;y)$ та $P(x_0;y_0)$ обчислюється за формулою:
$M{P}^2=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2$

Знайдемо квадрати відстаней від точки $M$ до заданих точок $A(0;0)$, $B(1;1)$ і $C(2;2)$:
$M{A}^2=(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=x^2+y^2$
$M{B}^2=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2$
$M{C}^2=(x-2{)}^2+(y-2{)}^2$

3. Складання та спрощення рівняння

Підставимо отримані вирази у початкову рівність:
$(x^2+y^2)+((x-1{)}^2+(y-1{)}^2)+((x-2{)}^2+(y-2{)}^2)=7$

Розкриємо дужки, застосувавши формулу квадрата різниці:
$x^2+y^2+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)=7$

Зведемо подібні доданки:
$(x^2+x^2+x^2)+(y^2+y^2+y^2)-(2x+4x)-(2y+4y)+(1+1+4+4)=7$
$3x^2+3y^2-6x-6y+10=7$

Перенесемо число $7$ у ліву частину:
$3x^2+3y^2-6x-6y+3=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^2+y^2-2x-2y+1=0$

4. Виділення повних квадратів

Згрупуємо доданки за змінними $x$ та $y$:
$(x^2-2x)+(y^2-2y)+1=0$

Доповнимо вирази у дужках до повних квадратів:
$(x^2-2x+1)-1+(y^2-2y+1)-1+1=0$
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2-1=0$
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

Отримане рівняння має канонічний вигляд рівняння кола $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$, де $(a;b)=(1;1)$ — координати центра кола, а $R=\sqrt{1}=1$ — його радіус.

Центр цього кола збігається з точкою $B(1;1)$.

Відповідь:
Коло з центром у точці $(1;1)$ і радіусом $R=1$ (рівняння кола: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$).