Завдання № 53. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють $6\text{ см}$ і $10\text{ см}$, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації
Нехай дано рівнобічну трапецію $ABCD$, у якій $BC\parallel AD$, $AB=CD$, $BC=6\text{ см}$ та $AD=10\text{ см}$.
За умовою діагональ перпендикулярна до бічної сторони, тобто $BD\perp AB$ ($\angle ABD=90^{\circ }$).
Проведемо висоту трапеції $BK\perp AD$ ($K\in AD$).

2. Знаходження відрізків основи трапеції
У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини меншої основи на більшу основу, ділить її на два відрізки, менший з яких дорівнює піврізниці основ:
$AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{10-6}{2}=2\text{ см}$

Тоді більший відрізок $KD$ дорівнює:
$KD=AD-AK=10-2=8\text{ см}$

3. Обчислення висоти за метричними співвідношеннями
Розглянемо прямокутний трикутник $△ABD$ ($\angle ABD=90^{\circ }$). Відрізок $BK$ є висотою, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу $AD$.

За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику, квадрат висоти, опущеної на гіпотенузу, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу:
$B{K}^2=AK\cdot KD$

Підставимо знайдені значення довжин відрізків:
$B{K}^2=2\cdot 8=16$
$BK=\sqrt{16}=4\text{ см}$

Отже, висота трапеції дорівнює $4\text{ см}$.

Відповідь: $4\text{ см}$.