Завдання № 52. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На катетах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовано круги. Доведіть, що сума площ частин цих кругів, що лежать поза описаним навколо цього трикутника кругом, дорівнює площі трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз фігур

Нехай дано прямокутний $△ABC$ із прямим кутом при вершині $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).
Позначимо довжини його катетів як $BC=a$, $AC=b$, а гіпотенузу як $AB=c$.

За властивістю прямокутного трикутника, центр описаного навколо нього кола збігається із серединою гіпотенузи $AB$, а сама гіпотенуза $c$ є діаметром цього кола.

Оскільки прямий кут спирається на діаметр, катети $a$ та $b$ ділять круг, побудований на гіпотенузі як на діаметрі, на $△ABC$ і два кругові сегменти, що прилягають до катетів.

Круги, побудовані на катетах $a$ та $b$ як на діаметрах, перетинають описане коло у точках $A$, $C$ та $B$. Частини цих кругів, які лежать поза описаним кругом, утворюють дві серпоподібні фігури (відомі в геометрії як луночки Гіппократа).

2. Обчислення площ півкругів

Площа півкруга обчислюється за формулою $S=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi d^2}{8}$, де $d$ — діаметр:

• Площа півкруга, побудованого на катеті $a$:
  $S_a=\frac{\pi a^2}{8}$

• Площа півкруга, побудованого на катеті $b$:
  $S_b=\frac{\pi b^2}{8}$

• Площа півкруга, побудованого на гіпотенузі $c$ (частина описаного круга, що містить вершину $C$):
  $S_c=\frac{\pi c^2}{8}$

3. Зв’язок площ півкругів за теоремою Піфагора

За теоремою Піфагора для $△ABC$:
$a^2+b^2=c^2$

Помножимо обидві частини рівності на $\frac{\pi }{8}$:
$\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi c^2}{8}$

Отже, сума площ півкругів, побудованих на катетах, дорівнює площі півкруга, побудованого на гіпотенузі:
$S_a+S_b=S_c$

4. Знаходження суми площ частин кругів поза описаним кругом

Півкруг, побудований на гіпотенузі $AB$, складається з площі прямокутного трикутника $S_{△ABC}$ та двох сегментів $S_{\text{сегм }a}$ і $S_{\text{сегм }b}$, основами яких є катети $a$ та $b$:
$S_c=S_{△ABC}+S_{\text{сегм }a}+S_{\text{сегм }b}$

Звідси сума площ цих двох сегментів дорівнює:
$S_{\text{сегм }a}+S_{\text{сегм }b}=S_c-S_{△ABC}$

Шукана сума площ частин кругів, що лежать поза описаним кругом (площа двох луночок $S$), дорівнює сумі площ півкругів, побудованих на катетах, без площ відповідних кругових сегментів описаного круга:
$S=(S_a-S_{\text{сегм }a})+(S_b-S_{\text{сегм }b})=(S_a+S_b)-(S_{\text{сегм }a}+S_{\text{сегм }b})$

Підставимо у цей вираз отримані раніше рівності $S_a+S_b=S_c$ та $S_{\text{сегм }a}+S_{\text{сегм }b}=S_c-S_{△ABC}$:
$S=S_c-(S_c-S_{△ABC})=S_c-S_c+S_{△ABC}=S_{△ABC}$

Оскільки катети прямокутного трикутника перпендикулярні, площа трикутника дорівнює $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$.

Отже, сума площ частин кругів, що лежать поза описаним кругом, точно дорівнює площі трикутника $S_{△ABC}$. Твердження доведено.

Відповідь:

Доведено, що сума площ частин кругів дорівнює площі прямокутного трикутника: $S=S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$.